同時形の微分方程式

質問

(dv/dt) = -(2v-5t-3)/(v+2t+3)
v(t₀)=v₀を初期条件とする。
変数ｔと変数ｖが混ざっているのでわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんにちは。

わたしは、同次形にするようなやり方でこの微分方程式を解くことにしますか。
と言っても、
回答の大部分は
spring135さんの結果を拝借させていただきます（ポリポリ）。

(dv/dt) = -(2v-5t-3)/(v+2t+3)
問題を見ると、
　2v - 5t - 3 = 2(v+1) - 5(t+1)
　v + 2t + 3 = (v+1) + 2(t+1)
と気づく。
　y = v+1
　x = t+1
(dv/dt) = -(2v-5t-3)/(v+2t+3)
をx,yをつかって書き換えると、
　dy/dx = -(2y-5x)/(y+2x)

この微分方程式の解は、質問者の前の質問
http://okwave.jp/qa/q8614744.html
で、
spring135さんが
　dv/dt = -{(2v-5t)/(v+2t)}
　v=ut=t[±√((C/t^2)+9)-2]
と解いてくださっている。
この結果を拝借しますと、
　dy/dx = -(2y-5x)/(y+2x)
　y = x[±√((C/x^2)+9)-2]
となります。xとyをvとtに戻すと、
　v + 1 = (t+1)[±√((C/(t+1)^2)+9)-2]
　v = ±√[9(t+1)^2+C]-(2t+3)

出題者のこの問題の出題意図は、
同次形の微分方程式になるように変形し、
前に解いた同次形の結果を使えってこと。

そろそろ気づいてほしいのだが、
「同時形」ではなく「同次形」だぞ。

回答No.1

spring135

(dv/dt) = -(2v-5t-3)/(v+2t+3) (1)

u=v+2t+3と置く。

v=u-2t-3

dv/dt=du/dt-2

2v-5t-3=2(u-2t-3)-5t-3=2u-9(t+1)

(1)へ代入

du/dt-2=-[2u-9(t+1)]/u=-2+9(t+1)/u

du/dt=9(t+1)/u

変数分離

udu=9(t+1)dt

積分

u^2/2=9(t+1)^2/2+c

u^2=9(t+1)^2+C

u=±√[9(t+1)^2+C]

u=v+2t+3より

v=±√[9(t+1)^2+C]-(2t+3)

お礼

詳しい解説ありがとうございます。