微分方程式

質問

dx/dt= v
dv/dt= -x
(初期条件t = 0 に於いてx = -1 v = 0)
を満たす微分方程式を
t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。

1番上の2式を併せるとd^2x/dt^2 = -x(初期条件t = 0 に於いてx = -1 dx/dt = 0)となります。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

d^2x/dt^2 = -x
一般解：x = A sin(t) + B cos(t). (A,B は積分定数)
dx/dt = A cos(t) - B sin(t) = v,
v = A cos(t) - B sin(t),

dv/dt = -A sin(t) - B cos(t) = -x,
故に，dv/dt= -x より，
-A sin(t) - B cos(t) = -(A sin(t) + B cos(t))
となるので矛盾はなく，計算違いはない．

＞(初期条件 t = 0 に於いて x = -1　 v = 0)
x = A sin(t) + B cos(t) により，
-1 = A sin(0) + B cos(0),
-1 = A*0 + B*1, B = -1

v = A cos(t) - B sin(t) により，
0 = A cos(0) - B sin(0),
0 = A*1 - B*0, A = 0

故に，A = 0，B = -1 なので，x は，
x = A sin(t) + B cos(t) = 0*sin(t) - cos(t)
x = - cos(t)
v は，
v = A cos(t) - B sin(t) = 0*cos(t) -(-1)sin(t)
v = sin(t)

＞t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。
t=1，x = -cos(1)，
t=2，x = -cos(2)，
t=3，x = -cos(3)，
t=4，x = -cos(4)．

t=1，v = sin(1)，
t=2，v = sin(2)，
t=3，v = sin(3)，
t=4，v = sin(4)．

なお， -cos(1) や sin(1) などは，(1)が「ラジアン」か「度」かを決めてやれば，sin(1) などの数値が決まります．

以上です．

回答No.3

spring135

dv/dt=d(dx/dt)/dt=d^2x/dt^2=-x

d^2x/dt^2+x=0　　　　（1）

いわゆる定係数2階線形常微分方程式。

素解をx=e^(pt)とおいて（1）に代入すると

p^2+1=0

p=±i (iは虚数単位）

よって

x=ae^(-it)+be^(it)

が一般解。

e^(±it)=cost±sint

を用いて三角関数で表すほうが使い勝手が良い。

すなわち

x=asint+bcost

v=acost-bsint

初期条件より

b=-1, a=0

よって

x=-cost

v=sint

>t=1,2,3,4の時での詳しい解答を教えてください。?

回答No.1

f272

なんだか怪しげな日本語だが，それはさておき
d^2x/dt^2 = -x
って言うことはtで2回微分したら元の関数の符号を変えたものになるってことでしょ。
それはx=costとかx=sintとかがすぐに思い浮かぶでしょう。
一般的にはこれらの線形結合だけれど，このうちの初期値を満たすものを求めればよい。