同時形の微分方程式

質問

tv(dv/dt) = t^2+v^2
初期条件v(t₀)=v₀とする。

(dv/dt) = (t^2+v^2)/tv となるので、 u = (t^2+v^2)/tv としてからどうすればいいのですか？
詳しい解説お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>(dv/dt) = (t^2+v^2)/tv となるので、 u = (t^2+v^2)/tv としてからどうすればいいのですか？

u = (t^2+v^2)/tv と置いたのではすぐ破綻することが見抜けないのは経験不足です。

dv/dt = (t^2+v^2)/tv =t/v+v/t (1)

このような式になった場合は定石があります。

u=v/t

とおき、vをuで置き換えます。

v=ut

dv/dt=tdu/dt+u

(1)に代入

tdu/dt+u=u+1/u

tdu/dt=1/u

変数分離して

udu=dt/t

積分して

u^2/2=logt+c

u=±√(2logt+c)

v=ut=±t√(2logt+c) (2)

初期条件より

vo=±to√(2log(to)+c)

(vo/to)^2=2log(to)+c

c=(vo/to)^2-2log(to)

(2)に代入

v=±t√(2logt+(vo/to)^2-2log(to))

=±t√((vo/to)^2+2log(t/to))

これが完全解

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

NemurinekoNya

tv(dv/dt) = t^2+v^2
両辺をtvで割ると、
　dv/dt = t/v + v/t　　　・・・（あ）

v = utと置いて、これをtで微分すると
v' = dv/dt = u + u't
これを使って、（あ）の式を書き換えると、
　u + u't = 1/u + u
　u't = 1/u
　du/dt = 1/ut
　udu = (1/t)・dt
　∫udu = ∫(1/t)・dt
　(1/2)・u^2 = log|t| + c
uを元に戻して、
　(1/2)・(v/t)^2 = log|t| + c
　v^2 = 2t^2(log|t| + c)
　v = ±√{2t^2(log|t| + c)}
　v = ±|t|√{2(log|t| + c)}
t > 0ならば、
　v = ±t√{2(logt + c)}

とかになるんじゃない。
わたしは平気で計算を間違えるので、これはあくまで参考に。
　───わたしの計算能力は小学生以下。だって、猫だもん───
わたしの計算をうっかり信じると地獄を見ることになる（高笑い）！！
方針は示してある。
自分で解くのが大切！！

お礼

詳しい解説ありがとうございます。