同時形の微分方程式

質問

(dv/dt) = -{(2v-5t)/(v+2t)}

変数ｔと変数ｖが混ざっているのでわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

dv/dt = -{(2v-5t)/(v+2t)}

右辺の分子分母をtで割って

dv/dt=-(2v/t-5)/(v/t+2) (1)

定石　

u=v/t

を使う。

v=ut

dv/dt=tdu/dt+u

(1)に代入

tdu/dt+u=-(2v/t-5)/(v/t+2)=-(2u-5)/(u+2)=9/(u+2)-2

tdu/dt=9/(u+2)-(u+2)

p=u+2とおく。du/dt=dp/dt

tdp/dt=(9/p)-p=(9-p^2)/p=-(p^2-9)/p

変数分離

pdp/(p^2-9)=-dt/t

q=p^2-9とおく。

pdp=dq/2

dq/q=-2dt/t

logq=-2logt+c

qt^2=C

q=C/t^2

以下、変数を元に戻す。

p^2-9=C/t^2

p=±√((C/t^2)+9)=u+2

u=±√((C/t^2)+9)-2

v=ut=t[±√((C/t^2)+9)-2]

お礼

詳しい解説ありがとうございます。