同時形の微分方程式

質問

(dv/dt) = 1+v/t
v(t₀)=v₀を初期条件とする。

わかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

＞(dv/dt) = 1+v/t
v(t₀)=v₀

微分方程式の解法の定石はいくつかあって、このような微分方程式は

u=v/t

という置換をすることになっている。

v=ut

v'=u't+u

元の式に代入して

u't+u=1+u

u't=1

u'=1/t

u=logt+c

v=ut=tlogt+ct (1)

初期条件

vo=tologto+cto

c=vo/to-logto

(1)へ代入

v=tlogt+t(vo/to+logto)=[(vo/to)+log(t/to)]t

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

NemurinekoNya

微分方程式を解くだけなら
dv/dt = v' = 1 + v/t
v' - v/t = 1
両辺にtを掛ける
v'/t - v/t^2 = 1/t
(v/t)' = 1/t
v/t = ∫(1/t)dt
v/t = logt + c
v = t(logt + c)

初期条件を入れると
v(t0) = v0 = t0(logt0 + c)
c = ・・・

あるいは
v = ut　　(u = v/t)
v' = (ut)' = tu' + u
dv/dt = v' = tu' + u = 1 + v/t = 1 + u
tu' = 1
du/dt = 1/t
u = ∫(1/t)dt = logt + c
u = v/t = logt + c
v = t(logt+c)

∫(1/t)dt = log|t| + cだから、絶対値をつけた方がいいのかもしれないけれど、
tはt > 0というのが暗黙の仮定としてありそうなので、
これでいいのでは。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

178-tall

>(dv/dt) = 1+v/t

まず確認を。

　(dv/dt) = (1+v)/t

じゃないのですね？