速度と微分方程式

質問

速度と微分方程式

１．最初、２０ｍ/sの早さで走っていた自動車が一定の加速度で速さを増し、４．０秒後には４０ｍ/sになった。

（１）加速度一定の条件を用いて、早さに関する微分方程式を書け。
（２）初期条件を書け。
（３） （１）の微分方程式を（２）の初期条件を元に解け。
（４）速さの時間に関する式を求めよ。
（５） （４）を基に微分方程式を書け。これを解いて、この間に進んだ距離を求めよ。

(1)
a=dv/dt

∫dv=a∫dt
v+c=at+c
v=at+c
(2)
初期条件 t=0のときv=20m/s

(3)

初期条件より
v=5t+20

（３）までの答えはこれでいいでしょうか？

（４）と（５）がわからないのでどなたかよろしくお願いします。

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞（１）加速度一定の条件を用いて、早さに関する微分方程式を書け。
＞＞＞a=dv/dt

ａが定数であることを書かないといけませんね。

たとえば、
ｄｖ／ｄｔ　＝　Const.　＝　ａ
と書いてもよいし、
ｄｖ／ｄｔ　＝　ａ　　（ａは定数）
と書いてもよいです。
解けとは言われていないので、これで完了です。

＞＞＞（２）初期条件を書け。
＞＞＞初期条件 t=0のときv=20m/s

ｔに単位をつけないで、ｖだけ単位をつけているのは、ちょっといただけませんね。

ｔ＝０　のとき　ｖ＝２０
あるいは
ｔ＝０［ｓ］　のとき　ｖ＝２０［ｍ／ｓ］
です。

＞＞＞（３） （１）の微分方程式を（２）の初期条件を元に解け。
＞＞＞∫dv=a∫dt
＞＞＞v+c=at+c
＞＞＞v=at+c

両辺にｃを書いてはいけません。確実に減点されます。
右辺だけに書きましょう。

ｄｖ／ｄｔ　＝　ａ
ｄｖ　＝　ａｄｔ
∫ｄｖ　＝　ａ∫ｄｔ
ｖ　＝　ａｔ　＋　Ｃ

ｔ＝０　のとき　ｖ＝２０
２０　＝　ａ・０　＋　Ｃ
Ｃ　＝　２０
よって、
ｖ　＝　ａｔ　＋　２０

＞＞＞（４）速さの時間に関する式を求めよ。

ｔ＝４．０　のとき　ｖ＝４０　という情報からａが求まるということに気づけば、超簡単です。

４０　＝　ａ×４．０　＋　２０
ａ　＝　（４０－２０）／４．０
　＝　２０／４．０
　＝　５．０

（有効数字に注意してください。
　有効数字２桁同士の割り算の結果ですので、
　ａ＝５　ではなく　ａ＝５．０　です。）

よって、
ｖ　＝　５．０ｔ　＋　２０

＞＞＞（５） （４）を基に微分方程式を書け。これを解いて、この間に進んだ距離を求めよ。

これは、速度を時刻で積分すれば位置（距離）になるということを知っていれば解けます。
位置をｘと置いて、

ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　５．０ｔ　＋　２０
∫ｄｘ　＝　５．０∫ｔｄｔ　＋　２０∫ｄｔ
ｘ　＝　２．５ｔ^2　＋　２０ｔ　＋　Ｃ

ｔ＝０　のときの位置を　ｘo　と置けば、
ｘo　＝　２．５×０^2　＋　２０×０　＋　Ｃ
　＝　Ｃ

したがって、
ｘ　＝　ｘ（ｔ）＝　２．５ｔ^2　＋　２０ｔ　＋　ｘo
と書ける。

ｔ＝０　のときの位置は、上記より
ｘ（0）　＝　ｘo

ｔ＝４．０　のときの位置は、
ｘ（4.0）　＝　２．５×４．０^2　＋　２０×４．０　＋　ｘo
　＝　４０　＋　８０　＋　ｘo
　＝　１２０　＋　ｘo

進んだ距離は、
ｘ（4.0）　－　ｘ（0）　＝　（１２０　＋　ｘo）　－　ｘo
　＝　１２０　[m]

（１２０は、４０＋８０　の結果なので、有効数字は３桁です。
　ですから、１．２×１０^2　と書かなくてよいです。）

上記では、ｔ＝０　のときの位置を　ｘo　と置きましたが、
ｔ＝０　のときの位置を　０　と置いても、たぶん減点されません。

なお、私、計算ミスをすることがあるので、検算してくださいね。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

owata-www

(1)速さに関する“微分方程式”なんだから
a=dv/dt　aは実数　で終わり まあ、d^2v/dt^2=0としてもいいですけど…

(2)OK

(3)ここで
∫dv=a∫dt
v+C1=at+C2
v=at+C' C' = C1 + C2として、
(2)の初期条件よりC' = 20なので
v = at +20
です

(4)
(3)にt=4, v=40を代入して a = 5なので
v = 5t + 20

(5)
v = dx/dtです
よって、(4)より
dx/dt = 5t +20
よって、
∫[0,4](dx/dt)dt =∫[0,4](5t+20)dt

ちなみに∫(5t+20)dt = 5/2t^2 +20t + Cです

あとは解いてください