微分方程式、初期値で微分すると？

質問

u=u(x,y), v=v(x,y)は(x,y)∈R＾２のC＾1級関数とし、
（ξ、η）∈R＾２を初期値とする初期値問題
　　　　　　　dx/dt=u(x,y), x(0)=ξ
　　　　　　　dy/dt=v(x,y), y(0)=η
の解を　x=x(t;ξ,η),　y=y(t;ξ,η)　とする。
∂x/∂ξ｜[t=0]＝１、　∂/∂t(∂x/∂ξ)｜[t=0]=∂u/∂x(ξ,η)
を示せ。
って問題なんですけど、初期値（ξ）で偏微分？何のことか全然わかりません。xにt=0代入してからξで微分すれば１にはなりますけどそんなことしたらだめですよね？
助けてください。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

解のｘはｔとξとηの関数です
すなわちｘ（ｔ，ξ，η）です
最初の式から
x(t,ξ,η)-x(0,ξ,η)=
∫(0～t)・u(x(s,ξ,η),y(s,ξ,η))・ds
ところで
ｘ（０，ξ，η）＝ξ
として両辺をξで偏微分しｔ＝０とすると・・・
（積分と微分の順序の変換ができる事を使う）

後半は煩雑になるが同じようにする

お礼

早速のご回答本当にありがとうございます。
まったく気がつきませんでした。頭に叩き込んどきます。