微分方程式 1/vと初期条件

質問

質量mの質点が、速度に比例する抵抗のみの作用のもとで運動しているとき、微分方程式dv/dt=-(k/m)vが成り立つという。v(0)=0としてこの微分方程式を解け。という問題で3点わからない箇所があります。
自分の解き方では、-(k/m)=aとして、dt/dv=1/av 両辺をvで積分して、
∫(dt/dv)dv=1/a∫(1/v)dv 、t=(1/a)(log|v|+C1) C1は積分定数、at-C1=log|v|、
|v|=e^(at-C1)、v=±e^(at)*e^(-C1) よってv(t)=±e^(at)*e^(-C1) 、t=0とv(0)=0を代入して　0=±e^(0)*e^(-C1)、0=±1*e^(-C1)よりe^(-C1)=0という矛盾がおこりました。これが１つ目のわからない点です。
二つの目のわからない点は、vが正の値をとるようになっていることです。
(1/a)∫(1/v)dv=(1/a)(logv+C1)のようになっていることです。
本の解答では、dt/dv=-(m/k)1/v、　-(k/m)dt/dv=1/vだから、
-(k/m)t=0+∫(v0→v)dv/v=log(v/v0)、よってv=v0e^{-(k/m)t}となっています。
v0=v(0)としたら、本の答えがv=0になってしまうので、それはないと思いますが、３つ目としてv0は何を表すかわかりません。
どなたか、なぜe^(-C1)=0になるのか、なぜvが正の値をとるか、v0は何かを教えてくださいおねがいします。

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

> 分母のvが０でないという条件だけでは、微分方程式を解けない

そんなことは言っていない。
dt/dv=1/av と変形した段階で、「vで除算」してますが、「v(0) = 0」だったらその時「0で除算している」から、その段階で実は変でしょ？ということを言っています。だから「e^(-C1)=0という矛盾がおこ」る。

私も多分「v(0) = v0」の間違いだとは思っていますが、その場合でも v0 = 0だったら結局同じ問題点を議論しないといけません。

お礼

お礼コメントの間違いを指摘してくださりありがとうございます。
v(0)もvがとる値の一つと考えて、v(0)=0のとき0で割ってしまう異常になる
というふうに考えました。

補足

話はそれますが、よかったらお返事ください。途中の計算のしかたについてですが、自分のように不定積分でt=(1/a)(log|v|+C1) C1は積分定数　としたあと、v(0)もvも正、v(0)もvも負と場合分けして、絶対値記号をはずし、vを求めても間違ってはいないのでしょうか？

回答No.4

tmppassenger

> 不定積分でt=(1/a)(log|v|+C1) C1は積分定数　としたあと、
> v(0)もvも正、v(0)もvも負と場合分けして、絶対値記号をはずし、
> vを求めても間違ってはいないのでしょうか？

勿論全く間違ってないですが、結局「積分定数はどうやって決めるか？」という事を考えた時、実は「最初から（積分範囲をきちんと考えた上で）定積分で考えれば自ら導出される」、という事です。

お礼

定積分で微分方程式を解く方法も、身に付けておきたくなりました。
お返事ありがとうございます。

回答No.2

jcpmutura

本当に問題に
「
v(0)=0としてこの微分方程式を解け
」
と書いてあるならば、問題が間違っています
解答が
「
v=v0e^{-(k/m)t}
」
ならば
問題は
「
v(0)=v0としてこの微分方程式を解け
」
でなければなりません

vは正の値ではありません
(v/v0)が正の値をとるようになっているのです

お礼

問題文の訂正ありがとうございます。すっきりしました。

回答No.1

tmppassenger

この手の微分方程式を解く時は本当はもっと慎重にならないといけないが、大抵そのように書いてない事が多い。

(1)
一般に0に対する除算は定義できないことを念頭に、
> -(k/m)=aとして、dt/dv=1/av
と変形した時の、vが「分母」に来ていることの正当性をきちんと議論する事（つまり、分母が非零の時と、零になってしまうので除算出来ない場合をきちんと分け、その両者の解が「接続」することがあるかを議論しないといけない）。

(2)
vが正の領域でも負の領域でも、∫(v0→v)dv/v=log(v/v0) でしょう？よく考えてみましょう。積分範囲が0を跨いではいけないことに注意。

(3)
> -(k/m)dt/dv=1/vだから、-(k/m)t=0+∫(v0→v)dv/v=log(v/v0)
と書いた時、dtの積分が t に化けていますが、この時dtをどの範囲で積分したのかを考えれば答えはでるはず。分からなければ「置換積分」とは何だったかを確認すること。
最後に、ここでも「vが分母にある」ことの議論をきちんとする必要があることに留意。

お礼

分母のvが０でないという条件だけでは、微分方程式を解けないとの指摘ありがとうございます。