ディオファントス不定方程式と格子点

質問

「x,y平面上で、x座標とy座標がともに整数であるような点(m,n)を格子点とよぶ。 各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線は、これらの円のどれかと共有点をもつとする。
このような性質を持つ半径rの最小値を求めよ」

これの解答が、

傾き2/5の任意の直線は2x-5y-k=0(k:任意の定数)•••(1)と表される。
点(m,n)を持つための条件は
|2m-5n-k|/√2²+(-5)²≦r
|2m-5n-k|≦√29r•••(2)
任意のkに対して、適当なm,nをとれば(2)が成り立つようなrの最小値を求めればよい。
ここで、(2)|2m-5n-k|≦√29rにおいて、2m-5nはすべて整数値をとるから
N=2m-5n•••※とおける。
すると、(2)は
|N-k|≦√29r•••(3)となる。
したがって、問題の条件は次のように言い換えられる。
任意の実数kに対して、適当な整数Nをとれば
|N-k|≦√29r
となるような最小値を求めればよい。
...(以下画像参照)

解説を読んでも何故1/2が出てきたのかイマイチぱっとひらめきません。
数直線上で任意の実数kに対して、点kとの距離が√29r以下であるような整数の点Nがとれるようなrの最小値を求めればよい。それ以降の過程が分かりません。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

1991年の東大ですね。

kを固定したとき、|N-k| は数直線上で「k , k±1, k±2, ...」という「間隔1の数字群」を表す。
これらの数字を中心とした半径√29rの円を数直線上にえがいたとき、これらの円で数直線を埋め尽くすには？
と考えると、円の半径が「1/2以上」となるかと思います。