格子点の問題です。

質問

途中迄解いたのですが、最後の問題がわかりませんでした。宜しくお願い致します。

自然数mに対して、直線 y= mxと、放物線 y=x^2で囲まれた領域をDmとする。
ただし、Dmは境界線を含む。
また、領域Dmに含まれる格子点の個数を dmとおく。
ここで、格子点とはx座標とy座標がともに整数になる点のことである。
この時、d1= 1、d2 =3、d3 =7、である。
また、0≦ k ≦ m である整数k に対して、
直線x = k上の格子点で、領域Dmに含まれるものの個数は、
mx- k^2 + 1 である。
従って、dm =（m +□）（m^2 - m +□）/□ である。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞この時、d1= 1、d2 =3、d3 =7、である。

(0,0)忘れてませんか？

d1=2,d2=4,d3=8だと思いますが。
（図を描いて確認してみてください。）

＞直線x = k上の格子点で、領域Dmに含まれるものの個数は、
＞mx- k^2 + 1 である。

mk-k^2+1ですね？

dm=Σ[k=0,m](mk-k^2+1)=1+Σ[k=1,m](mk-k^2+1)
=1+m*1/2m(m+1)-1/6m(m+1)(m+2)+m
=(m^3+5m+6)/6
=(m+1)(m^2-m+6)/6・・・答え

お礼

大変わかりやすかったです。
ご丁寧に、ありがとうございました。

回答No.3

suko22

＃２です。すみません！また間違いです。

誤）Σ[k=0,m]k^2=1/6m(m+1)(2m+1)公式ですね

正）Σ[k=1,m]k^2=1/6m(m+1)(2m+1)公式ですね

普通k=1からですね。

いつも投稿してから間違いに気づきます（汗）。

公式は正確に覚えてくださいね。

お礼

ご丁寧に、ありがとうございます。すいません。わざわざ。
ご助力に感謝致します。

回答No.2

suko22

＃１です。訂正です。

誤）=1+m*1/2m(m+1)-1/6m(m+1)(m+2)+m

正）=1+m*1/2m(m+1)-1/6m(m+1)(2m+1)+m

Σ[k=0,m]k^2=1/6m(m+1)(2m+1)公式ですね。誤はタイプミスです。

最終の計算結果は合っています。