格子点の問題

質問

nを正の整数とする。xy平面において直線x-3y=0とx+3y=6nとx軸で囲まれてできる領域（境界を含む）に含まれる格子点の数を求めよ
この問題を数列ではなく縦1/2n,横3nの長方形の格子点を考えて、そこから余分な分を引いて領域内の格子点の数を求めたいのですが、どのように求めればいいのでしょうか？
直線上の格子点の求め方と考え方を詳しく解説していただけると嬉しいです。

回答No.2

info222_

No.1です。
ANo.1の補足の訂正
>x+2y=3n(n=正整数）
をした後の解答

上の問題の訂正を行った後であれば
>縦(1/2)n,横3nの長方形の格子点を考えて
で考えてもいいでしょう。
長方形領域に含まれる格子点数kは
k=([n/2]+1)(3n+1)
([ ]はガウス記号)
三角形領域に含まれる格子点数Nは
Ｎ=k-3[n/2]([n/2]+1)=([n/2]+1)(3n-3[n/2]+1) ...(答)
([ ]はガウス記号)

回答No.1

info222_

>縦1/2n,横3nの長方形の格子点を考えて
この長方形は間違ってませんか？こう考えた根拠は？
正しくは
領域を含む長方形なら、縦n,横6nの長方形、
領域の対称性を使って1/2の領域の長方形で考えるなら、縦n,横6nの長方形
で考えるべきと思いますがいかがですか？どちらでも考え方はあまり違いはないですが
格子点の個数をカウントする際には領域の対称性を利用します。
グラフを描いて領域の図を観察してみて下さい。
考える出発点の長方形領域が間違っていたら、その先を論じる意味がありませんね！

縦n,横6nの長方形で考えるなら格子点の個数は、グラフの領域から
境界を含む長方形領域に含まれる格子点数kは
k=(n+1)(6n+1)
この中から求める領域外の格子点を除けば
求める格子点の個数は
k-3n(n+1)=(n+1)(6n+1-3n)=(n+1)(3n+1) ...(答)
(n=1,2,3, ...、正整数)

補足

すみません！打ち間違えていました
正しくは二つ目の直線がx+3y=6nではなくx+3y=3nでした
わざわざ答えてくださったのに申し訳ありませんでした