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格子点

Y≧1/2x、Y≦2x、Y≦-x+n とする。xy平面上の領域において、x座標もy座標も整数である点の個数をSnで表す。ただし、nは整数である。 S30を求めよ。 この問題が分かりません。図書いてみると、大きい三角形の中の個数から小さい三角形の中の個数の二倍したものを引くと解けると思うんですが、個数の求め方が分かりません。よろしくお願いします。 良ければ、limn→∞S3n/n^2もお願いします。

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  • rnakamra
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回答No.1

Y≧1/2xをy≧(1/2)xであるとみなして進めます。(y=1/2xと書くとy=(1/2)xであるかy=1/(2x)であるか判りません。判別できるように記述してください。) >良ければ、limn→∞S3n/n^2もお願いします。 これがヒントになっています。 まずは、これら3本の直線の交点を求めてみます。 これは簡単にもとまり (0,0),(n/3,2n/3),(2n/3,n/3)の3点です。 nが3の倍数の時、全ての交点が格子点上になります。 この場合だけを考えることにしましょう。 nが変わるとy=-x+nの表す直線だけが移動して後の2本は移動しません。 n=3kからkが1増えたn=3(k+1)になったときS(3(k+1))がS(3k)とくらべどれくらい増えたかを考えます。 全ての格子点は適当な整数nを選べばy=-x+n上に載っていることがわかると思います。 S(3k)と比較してS(3(k+1))になり増えた格子点は、y=-x+3k+1,y=-x+3k+2,y=-x+3k+3にどれかに載っています。 言い換えれば、増えた格子点はこの3本の直線上の格子点のうち、(1/2)x≦y≦2xに入るものになります。 これらをみたす格子点の個数は (1/2)x≦-x+3k+1≦2xを満たす整数xの数 (1) (1/2)x≦-x+3k+2≦2xを満たす整数xの数 (2) (1/2)x≦-x+3k+3≦2xを満たす整数xの数 (3) の和になります。 (1)の解き方のみを示します。 (3/2)x≦3k+1≦3x これは連立不等式、(3/2)x≦3k+1と3k+1≦3x x≦2k+2/3,k+1/3≦x→k+1/3≦x≦2k+2/3 これを満たすxはk+1,...,2kであり全部でk個あります。 同様に(2),(3)を満たす整数xの数を出します。 あとは、S(3(k+1))-S(3k)の値が求まりますので、S(3k)をkを用いて表すことができます。 S(3k)=S(0)+Σ[m:0~k-1]{S(3(m+1))-S(3m)}

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その他の回答 (4)

  • arrysthmia
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回答No.5

操作ミスでしょうか? 重複投稿になってしまいました。 「投稿する」ポタンは、 一回しか押した覚えがないのですが… 「通報する」ボタンが 昨日からずっと「混雑中」で蹴られる ため、このような形で すみません。

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  • arrysthmia
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回答No.4

n=30 くらいの話であれば、 実際に、方眼紙の上に作図 してしまえば済むでしょう。 格子点を、指折り数えます。 その際、ついでに S29, S28, S27, … も数えてみると、 Sn の一般項も予想が立つでしょう。 S28 までで止めずに、S27 以下まで やってみるのがコツです。 できれば、S24 以下までやるとよい。

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  • arrysthmia
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回答No.3

n=30 くらいの話であれば、 実際に、方眼紙の上に作図 してしまえば済むでしょう。 格子点を、指折り数えます。 その際、ついでに S29, S28, S27, … も数えてみると、 Sn の一般項も予想が立つでしょう。 S28 までで止めずに、S27 以下まで やってみるのがコツです。 できれば、S24 以下までやるとよい。

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  • arrysthmia
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回答No.2

n=30 くらいの話であれば、 実際に、方眼紙の上に作図 してしまえば済むでしょう。 格子点を、指折り数えます。 その際、ついでに S29, S28, S27, … も数えてみると、 Sn の一般項も予想が立つでしょう。 S28 までで止めずに、S27 以下まで やってみるのがコツです。 できれば、S24 以下までやるとよい。

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