不等式の問題がわかりません

質問

（１）
2x+3y≦6n,　x≧0,　y≧0　（aは正の整数）
を満たす点P（x,y）で、x,yがどちらも整数であるもの（格子点）の個数を求めよ。

（２）
2x+3y+6z≦6n,　x≧0,　y≧0　z≧0　（aは正の整数）
を満たす点P（x,y,z）で、x,y,zがすべて整数であるもの（格子点）の個数を求めよ。

という問題で、
(1)は不等式を図示して
y=k（k=1,2・・・）とy=-(2/3)x+2n　の交点は（ 3n-(3/2)k , k ）
交点が整数であるために2k=mとおくと、
y=m上の格子点の数は　3n-3m+1

よって、1≦y≦2nにおいて、y=（偶数）上の格子点の数は

Σ[m=1,n]（3n-3m+1）
＝（3/2）n^2-（1/2）n

また図から、y=2k-1上の格子点の数は
y=2k=m上の格子点の数より1多いので、

1≦y≦2nにおいて、y=（奇数）上の格子点の数は

Σ[m=1,n]｛3n-3m+2｝
＝（3/2）n^2+（1/2）n

y=0上の格子点の数は3n+1より、
求める値は

（3/2）n^2-（1/2）n＋（3/2）n^2+（1/2）n+3n+1
＝3n^2+3n+1

ここまでは分かりました。
（２）はどうやっていいか手の付け方も分かりません。
(1)を使って簡単にして解くような気はします（分かりませんが）。
分かる方お願いします。

回答No.3

postro · ベストアンサー

＃２です
方程式　2x+3y+6z=6n は、x-y-z空間での平面を表す方程式ですね。
この平面は３点、(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)を通ります。（それぞれの値を代入して方程式が成立する）
（この３点を通る平面の方程式ということです）

立体図形を考えずに式変形で追っていくなら、z=1 のとき　2x+3y+6z=6n は　2x+3y=6(n-1)
ですから、格子点の数は3n^2+3n+1のnの値を1つ小さくしたものとわかります。
それだと味気ないので、立体図形を考えると、
四面体を平面z=1で切った切り口は、（切り口の平面を改めて新しいx-y平面と考えれば）
(0,0)(3(n-1),0)(0,2(n-1))の３点を結ぶ三角形だとわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど良く分かりました！

回答No.4

Tacosan

#1 です. 大意は #3 と同じです.
2x + 3y ≦ 6(n-z) から z ≦ n は明らかだし, 整数 k に対して z = k のときの整数点の個数も (1) で計算できてるでしょって話.

お礼

回答ありがとうございます！
6(n-z)として(1)のnの値を変化させていくわけですね。
ありがとうございました。

回答No.2

postro

(1)はx-y平面上の、(0,0)(3n,0)(0,2n)の３点を結ぶ三角形の内部（境界を含む）の格子点の数を求めました。
(２)はx-y-z空間の、(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)の４点を結ぶ四面体の内部（境界を含む）の格子点の数を求めます。
この四面体をz=0,1,2,3,・・・,n 平面で次々に切っていくと、それぞれの格子点の数は、
z=0 のとき（これはx-y平面そのまま） 3n^2+3n+1個
z=1 のとき 3（n-1）^2+3（n-1）+1個
z=2 のとき 3（n-2）^2+3（n-2）+1個
・・・
z=n のとき 3（n-n）^2+3（n-n）+1=1 個
となるので、
Σ[ｋ=0,n]（3k^2+3k+1）
を計算すればよいことがわかります。

お礼

回答ありがとうございます。

＞(0,0,0)(3n,0,0)(0,2n,0)(0,0,n)
とありますが、(0,0,n)の値はどうやって出しましたか？
(1)の時はy=-(2/3)x+2nとx,y軸の交点を出す方法で出来ましたが、
(2)は変数が3つあるのでやり方がわかりません。

＞z=1 のとき 3（n-1）^2+3（n-1）+1個
底面をxy平面とすると、z軸の正の方に向かっていくと
3n^2+3n+1のnの値が1つずつ小さくなっていくということですよね？
どうして1つずつ小さくなっていくと分かったのですか？

詳しく聞いてごめんなさい。
お願いします。

回答No.1

Tacosan

z も非負整数なんだから, z = 0, 1, 2, ... と変えていき, そのときの x, y の (非負) 整数解の個数を数える.

お礼

回答ありがとうございます。
もう少し詳しく説明してもらえるとありがたいです。