整数の問題で、１２７ｘ－３７ｙ＝０とこの直線上にない格子点との距離を求める問題

質問

整数問題から、ユークリッダ互徐法の問題で、
「ｘｙ平面上の直線１２７ｘ－３７ｙ＝０と、この直線上にない平面上の格子点(ｘ、ｙ座標とも整数の点)との距離の最小値を求めよ」という問題で、分からないので解答を見たところ、

格子点を(ａ、ｂ)[ａ、ｂは整数]とおいて、直線１２７ｘ－３７ｙ＝０との距離より
|１２７ａ－３７ｂ|／√(１２７^2＋(－３７)^2)より、(ａ、ｂ)はこの直線上にないので、
１２７ａ－３７ｂ≠０なので、１２７ａ－３７ｂ＝１になることがあれば、距離の最小値となるので、
１／√(１２７^2＋(－３７)^2)＝１／√１７４９８

とあります。
なぜ、１２７ａ－３７ｂ＝１が最小値となるのでしょうか？
右辺の値が１であることの根拠が分かりません。
１２７と３７が互いに素、即ち１２７と３７の最大公約数が１のとき、
１２７ａ－３７ｂ＝１となる整数ａ、ｂは右辺＝１のときしか、
存在しないという意味でしょうか？

どうか、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#250262 · ベストアンサー

仮に、格子点と直線との距離
|１２７ａ－３７ｂ|／√１７４９８
の分子が「0.1」だとしましょう。これは、「0.1 < 1」 なので、
1 ／√１７４９８　より最小となります。

では、ここで、

　「最小値　0.1 ／ √１７４９８」　について考察します。

分子は、|１２７ａ－３７ｂ| = 0.1　です。
左辺は、a , b ともに整数なので、「整数ｘ整数 - 整数ｘ整数」　なので、何らかの整数の値になります。
しかし、右辺は、1/10 なので、分数（小数）です。
よって、等号成立しないことがわかります。
回りくどいいいかたをすると、
|１２７ａ－３７ｂ| = 0.1　を満たすa , b は存在しないことになります。

|１２７ａ－３７ｂ| = 3/5
|１２７ａ－３７ｂ| = 0.5
も同様です。

左辺は、必ず整数。しかし、右辺は、分数（小数）だからです。

よって、|１２７ａ－３７ｂ| = ？　を満たす最小の「？」は、「１」となります。

お礼

＜「整数ｘ整数 - 整数ｘ整数」なので、何らかの整数の値になります。・・・
で、納得がいきました。
有難う御座いました。

回答No.2

Ichitsubo

>格子点を(ａ、ｂ)[ａ、ｂは整数]とおいて
より127a-37bは整数、|127a-37b|ももちろん整数

お礼

有難う御座いました。

回答No.1

noname#250262

＞＞右辺の値が１であることの根拠が分かりません
という、分子が１であれば、最小である。

直線と格子点との距離は、|１２７ａ－３７ｂ|／√(１７４９８)　なので、
|１２７ａ－３７ｂ| = 0 であれば、最小です。
しかし、これは、直線が格子点上を通ることを意味するので、不適です。
次に小さい値は、|１２７ａ－３７ｂ| = 1　です。

お礼

はずかしながら、今一度質問させて頂きますと、右辺＝整数値じゃないといけないのでしょうか？
右辺＝１／２、３／５や０.１などはありえないということでしょうか？
教えて頂けたら幸いです。