[高校数学III]格子点と数列の極限

質問

xy平面上で
x≧0, y≧0, x^2 +y^2≦n^2
で表される範囲における格子点の個数をS(n)で表す。ただし、nは自然数である。
このとき、極限lim[n->∞]{S(n)/n^2}を求めよ。

という問題についてですが、
模範解答は

x=k(k=0,1,2,…,n)のとき、yのとり得る範囲は、y≧0かつ
k^2 +y^2≦n^2よりy^2≦n^2 -k^2
したがって、0≦y≦√(n^2 -k^2)である。
これを満たす整数yの個数は[√(n^2 -k^2)]+1個であるから
S(n)=Σ[k=0,n]{[√(n^2 -k^2)]+1}
である。ここで、
√(n^2 -k^2)＜[√(n^2 -k^2)]+1≦√(n^2 -k^2)+1…(1)
であるから、
Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2)＜S(n)≦Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}…(2)
したがって、
Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)/n^2}＜S(n)/n^2≦Σ[k=1,n]{{√(n^2 -k^2)+1}/n^2}
である。
・
・
・
(以下略)

となっています。
質問は(1)→(2)の式変形についてですが、
S(n)=Σ[k=0,n]{[√(n^2 -k^2)]+1}であるのに、(2)でS(n)を挟んでいる２式はなぜ「Σ[k=1,n]…」となるんでしょうか？

教えて頂ければ有難いです、宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
いいところに目を向けていると思います。
きちんと書いた方がよいですね。

まず、「区分求積法」の公式となるのは

lim 1/n* Σ[k=1,n] f(k/n)= ∫[x=0,1] f(x)dx

となっています。
これは「図形的な意味」を考えていけばわかる内容です。

ですので、k= 0の部分だけ取り出して式を書いた方がよいと思います。
つまり、

n+ Σ[k=1,n]√(n^2- k^2)＜ S(n)≦ n+ 1+ Σ[k=1,n]{ √(n^2- k^2)+ 1 }

これを辺々 n^2で割って、n→ ∞とすれば k= 0の項は 0になってくれます。

Σが∫に変わるところは、「和を取る点」が「積分する区間」に置き換わっていくので要注意ですね。

お礼

お久しぶりです。
区分求積法を用いる際に0になることを見越して、(2)の部分にk=0の項を記していなかったんですね。
k=0の項を書いても問題無いようなので、納得できました。
区分求積法の公式の意味についてもよく勉強しようと思います。
今回も分かりやすい回答有難うございました。

回答No.2

noname#250262

久しぶりに、まともな質問なんで、考えてみました。

(1)の式に、Σ[k=0,n]で数列和とる。

Σ[k=0,n]√(n^2 -k^2)　＜　S(n)　≦　Σ[k=0,n]{√(n^2 -k^2)+1}…(3)とする。

これを少し分解すると、（k=1～nの和 と k=0　で分解）

Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2) + n　＜　S(n)　≦　Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}} + (n + 1)

よって、

Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2)　＜　Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2) + n　＜　S(n)　≦　Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}　≦　Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}} + (n + 1)

これより、左式は、(2)のような形になります。　Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2)　＜　S(n)

しかし、右式は、(2)のような形になりませんでした。　S(n)　≦　Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}} + (n + 1)

S(n)/n^2で極限をとるので、(n + 1)があっても無くても結果は同じですが。

S(n)　≦　Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}　を示すには、

さらなる、別の手法が必要っぽいですね。

お礼

左式がΣ[k=1,n]√(n^2 -k^2)＜S(n)となるのはよく分かりました。
模範解答が右式をS(n)≦Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}のように式変形しているのは、問題全体としては結果的に誤りにはならないものの式変形自体の正しさを示していないのは適当とは言えないみたいですね。
(2)式を
Σ[k=1,n]√(n^2 -k^2)+n＜S(n)≦Σ[k=1,n]{√(n^2 -k^2)+1}}+n+1と書いても大丈夫なようなので安心しました。
詳しく解説して頂いて有難うございました。