シニア数学演習40番

質問

シニア数学演習の40番の解説おねがいします

放物線C1:y=x^2+2xの頂点をP
放物線C2:y=-x^2+ax+bの頂点をQとする。
次の3つの条件
（A）PとQは異なる
（B）PはC2上にある
（C）PとQを通る直線は点（1,3）を通る
が成り立つときPとQを通る直線は
y=アであり、a=イ、b=ウである。
ア、イ、ウを答えなさい。

回答No.2

yyssaa

＞y=x^2+2x=(x+1)^2-1、P(-1,-1)
y=-x^2+ax+b=-(x^2-ax)+b=-(x-a/2)^2+b+a^2/4
Q(a/2,b+a^2/4)
条件(A)からa≠-2・・・・・(1)
条件(B)から-1=-1-a+b、a=b・・・・・(2)
よってQ(a/2,a+a^2/4)
PとQを通る直線をy=px+qとすると
条件(C)から3=p+q・・・・・(3)
Pを通るから-1=-p+q・・・・・(4)
(3)(4)よりp=2、q=1
直線y=2x+1がQを通るから
a+a^2/4=2(a/2)+1、a^2=4、(1)だからa=2
(2)からb=2
以上から
アは2x+1、イは2、ウは2・・・答

回答No.1

spring135

放物線C1:y=x^2+2xの頂点をP
放物線C2:y=-x^2+ax+bの頂点をQとする。

各方程式を標準形に直して

C1:y=(x+1)^2-1
C2:y=(x+a/2)^2+b-a^2/4

よって

P(-1,-1),Q(-a/2,b-a^2/4)

条件

（A）PとQは異なる→a≠2,b-a^2/4≠-1 (1)

（B）PはC2上にある→-1=1-a+b

b=a-2　　　　　　　　　　　　　　　(2)

（C）PとQを通る直線Lは点（1,3）を通る

L:y+1=[(-1-b+a^2/4)/(-1+a/2)]*(x+1)=[(a^2-4b-4)/(2a-4)]*(x+1)　　(3)

これが(1,3)を通ることから

　　　　4=[(a^2-4b-4)/(2a-4)]*2

b=(a-2)^2/4　　　　　　　　　　(3)

(2)、(3)から

　　　　a^2-8a+12=(a-2)(a-6)=0

a=2またはa=6

(1)よりa≠2、よってa=6,このとき(2)よりb=4

(1)のもう一つの条件b-a^2/4=0≠-1をみたす。

PとQを通る直線は(3)にa,bの値を代入して

y+1=2(x+1)

ア：y=2x+1
イ：a=6、
ウ：b=4