教えてください！！

質問

自分で一度解いてみたのですが、どうもわからないので、教えてください。

放物線C1: y=x^2-2ax+a^2+3(aは実数)の頂点はP(ア,イ)である。
原点をOとし、線分OPを2:1に内分する点をQとする。aがすべての実数を動くとき、Qの軌跡は直線y=(ウ)である。
放物線C2: y=-1/2 x^2上の異なる２点(p,-1/2 p^2),(q,-1/2 q^2) (p<q)におけるC^2の接線をそれぞれm1,m2とすると
m1: y=(エ)px+(オ)/(カ)p^2, m2: y=(エ)qx+(オ)/(カ)q^2
である。

m1がC1接するとき
3p^2-(キク)p-(ケコ)=0
が成り立ち、m1とC1の接点のx座標はa-(サ)/(シ)pである。
m1とm2がともにC1に接するとき
p+q=(スセ)/(ソ), pq=(タチ)
となり、m1とm2の交点の座標は((ツテ)/(ト),(ナ))である。
さらに、m1とm2とC1で囲まれる図形の面積をS1,m1とm2とC2で囲まれる図形の面積をS2とすると,a=0のときS1/S2=(二)/(ヌ)である。

(ア)～(ヌ)を求めよ。

という問題なんですが、一応(ア)=a,(イ)=3というのは出たのですが
次の問題からもう分からないので、詳しく教えてください。お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

やり方

C1:y=x^2-2ax+a^2+3=(x-a)^2+3
Qの軌跡：y=2
C2=y=-(1/2)x^2
m1:y=-px+(1/2)p^2、m2:y=-qx+(1/2)q^2
x^2-2ax+a^2+3+px-(1/2)p^2=0が重解を持つことから
判別式D=(-2a+p)^2-4(a^2+3-(1/2)p^2)=3p^2-4ap-12=0
接点のx座標：x=(2a-p)/2=a-(1/2)p
m1,m2が共にC1に接する条件：
3p^2-4ap-12=0　かつ 3q^2-4aq-12=0
p,q(p<q)は
3t^2-4at-12=0 の解。
解と係数の関係から
p+q=4a/3, pq=-4,p<q
p=(2a/3)-√{(2a/3)^2+4}=(2a/3)-(2/3)√(a^2+9)
q=(2a/3)+(2/3)√(a^2+9)
m1とC1の接点のx座標:
x=a-(1/2)p=(2/3)a+(1/3)√(a^2+9)
m2とC1の接点のx座標:
x=a-(1/2)q=(2/3)a-(1/3)√(a^2+9)
m1,m2の交点の(x,y)座標：
-px+(1/2)p^2=-qx+(1/2)q^2
(q-p)x=(1/2)(q-p)(q+p)
p<qよりq-p>0
x=(1/2)(p+q)
=(1/2)4a/3
=2a/3
2y=-(p+q)x+(1/2)(p^2+q^2)
=-(4a/3)(2a/3)+(1/2){(4a/3)^2-2(-4)}
=-8a^2/9 + 8a^2/9 + 4
= 4
y=2
a=0の時
C1:y=x^2+3
m1:y=2x+2,m2=-2x+2
m1とm2の交点(0,2)
m1とC1の接点(1,4),m2とC1の接点(-1,4)
m1とC2の接点(-2,2),m2とC2の接点(2,-2)
対称性から
S1/S2=∫[0,1](x^2+3-2x-2)dx/∫[0,2](-2x+2+x^2/2)dx=(1/3)/(4/3)=1/4

後は適当に(ア)～(ヌ)を埋めて下さい。