数学 解き方

質問

解き方を教えてください。

放物線y=-1/3x²をC₁とし,
放物線y=(x-a)²をC₂とする。
ただしaは正の実数である。
また,C₁とC₂の両方に接する直線のうち,
x軸と異なるものをlとする。
点(t,-1/3t²)におけるC₁の接線の方程式は
y=-ア/イtx+t²/ウであり,
この直線がC₂に接するのはt=0または
t=エ/オaのときである。
よって直線lの方程式はy=-ax+カ/キa²である。
またC₁,C₂の頂点をそれぞれA,Bとし,
C₁とlの接点をP,C₂とlの接点をQとする。
4点A,B,P,Qを頂点とする
四角形の面積が75aであるとき,
aの値はa=ク√ケである。

ア/イ　　2/3
ウ　　　　3
エ/オ 3/2
カ/キ 3/4
ク√ケ 5√6

回答No.2

info22_

C1：y=-(1/3)x^2 ...(1)
C2:y=(x-a)^2 ...(2)
接線l:接点(t,-(1/3)t^2),傾き(-2/3)tであるから
|:y=-(2/3)(x-t)-(1/3)t^2 ...(3)
整理すると
|:y=-(2/3)tx+((t^2)/3) ...(4)

>y=-ア/イtx+t²/ウ
と比較して

ア/イ　　2/3
ウ　　　　3

>この直線がC2に接するのは
>t=0または
>t=エ/オaのときである。

(4)が(2)に接することから

C2:y=(x-a)^2 　　　　...(2)
|:y=-(2/3)tx+((t^2)/3) ...(4)
(4)のyを(2)に代入して導いたxの2次方程式
　(x-a)^2 +(2/3)tx-((t^2)/3)=0
これを整理した
　x^2+2{(t/3)-a}x+a^2-((t^2)/3)=0
が重解を持つ（このときの(x,y)が接点Qの座標となる）。
すなわち判別式D/2=0であること。
　D/4={(t/3)-a}^2-a^2+((t^2)/3)=0
式を整理すると
　t(t-(3/2)a)=0 ∴t=0,(3/2)a

>t=0または
>t=エ/オaのときである。

エ/オ 3/2

>C₁とlの接点をP,C₂とlの接点をQとする。

t=0のとき P(0,0),Q(a,0),接線y=0
t=(3/2)aのとき P(3a/2,-3a^2/4),Q(a/2,a^2/4) …(5),
　接線lは(4)より　y=-ax+(3/4)a^2 …(6)

>y=-ax+カ/キa²である。
と比較して

カ/キ 3/4

>4点A,B,P,Qを頂点とする四角形AQBPの面積Sが75aであるとき,
(5)より
底辺PQ=√(a^2+a^4)=a√(1+a^2)
直線l(直線PQ)と点A(0,0)の距離d1（△APQの高さ)は公式より
d1=|-(3/4)a^2|/√(1+a^2)=(3/4)a^2/√(1+a^2)
直線l(直線PQ)と点B(a,0)の距離d2（△BPQの高さ)は公式より
d2=|a^2-(3/4)a^2|/√(1+a^2)=(1/4)a^2/√(1+a^2)
S=△APQ+△BPQ=PQ*(d1+d2)/2
=a√(1+a^2)*(1/2)a^2/√(1+a^2)
=(1/2)a^3=75a
a>0より
∴a=√150=5√6

>aの値はa=ク√ケである。

ク√ケ 5√6

回答No.1

tetra_o

y=-x^2/3 を微分すると y '=-2x/3 よって 点(t,-t^2/3)におけるC₁の接線の傾きは -2t/3であるから、
求める接線の方程式は y+t^2/3=-2t/3(x-t) 整頓して y=-2tx/3+t^2/3　…　(1) ∴ア/イ　2/3　ウ　3

(1)式とy=(x-a)^2を連立させて x^2-2(a-t/3)x+a^2-t^2/3=0 … (2) これが重解を持つので、 D/4=(a-1/3t)^2-(a^2-1/3t^2)=0
これを解いて t(2t-3a)=0 ∴t=0,3a/2 ∴エ/オ　3/2

t=0の時、これを(1)式に返すとy=0すなわちx軸となるから不適
またt=3a/2の時、これを(1)式に返すとy=-ax+3a^2/4 これが直線lである ∴カ/キ 3/4

C₁の頂点はA(0,0)、C₂の頂点はB(a,0)、PはC₁とlの接点であり、このx座標は3a/2であるから、これを y=-x^2/3 に返すとy=-3a^2/4 ∴P(3a/2,-3a^2/4)
またQはC₂とlの接点であるから、このx座標は(2)の重解に一致し、 {-2(a-t/3)}/(-2)=(a-t/3) t=3a/2 だから、 求めるx座標はa/2 これを y=(x-a)^2 に返すと y=a^2/4 ∴Q(a/2,a^2/4)

これら四点をxy平面上に記す(参照URLの画像を見てください)。すると、求める四角形の面積は二つの三角形ABQとABPの和で与えられるから、其の面積をそれぞれS,Tとすると、

S=(a*a^2/4)/2=a^3/8
T=(a*3a^2/4)/2=3a^3/8

よって、 S+T=75a であるから、代入して整頓すると a^3=75*2a a≠0より a^2=75*2
a>0 であるから a=5√6　∴ク√ケ 5√6

参考URL：

http://kura2.photozou.jp/pub/733/3028733/photo/186413925_org.v1378125736.png