定積分

質問

1.∮[0→2]|x-1|dx
2.∮[0→3]|x^2-3x+2|dx
これの解き方と答えを教えてください。

回答No.1

yyssaa

1.∮[0→2]|x-1|dx
＞x-1≧0すなわちx≧1で|x-1|=x-1、
x＜1で|x-1|=1-xだから
∫[x=0→2]|x-1|dx=∫[x=0→1](1-x)dx+∫[x=1→2](x-1)dx
=(x-x^2/2)[x=0→1]+(x^2/2-x)[x=1→2]=1・・・答
2.∮[0→3]|x^2-3x+2|dx
x^2-3x+2=(x-2)(x-1)
x≧2及びx≦1でx^2-3x+2≧0だから|x^2-3x+2|=x^2-3x+2
1＜x＜2でx^2-3x+2＜0だから|x^2-3x+2|=-x^2+3x-2
よって、∫[x=0→3]|x^2-3x+2|dx
=∫[x=0→1](x^2-3x+2)dx+∫[x=1→2](-x^2+3x-2)dx
+∫[x=2→3](x^2-3x+2)dx
={(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x}[x=0→1]+{-(1/3)x^3+(3/2)x^2-2x)}[x=1→2]
+{(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x}[x=2→3]
=5/6+1/6+5/6=11/6・・・答