積分の問題

質問

(1)∫dx/{e^x(e^x+2)}
(2) ∫dx/(e^x+1)
(3) ∫dx/(e^x-e^(-x))

それぞれの解く過程と答えを教えてください。
(3)の答えはarctanh(e^x)+C になったんですが合ってますかね

回答No.1

info22_

(1)
I=∫dx/{e^x(e^x+2)}=(1/2)∫{1/e^x-1/(e^x+2)}dx
=(1/2)∫e^(-x)dx-(1/2)∫dx/(e^x+2)
=-(1/2)e^(-x)-(1/2)I1
I1=∫dx/(e^x+2)

この積分は y=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。

(2)
∫dx/(e^x+1)
これはy=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。

(3)
∫dx/(e^x-e^(-x))=I
y=e^x(>0)とおいて置換積分すればいいでしょう。
dy=ydx → dx=dy/y
I=∫dy/{y(y+(1/y))}=∫dy/(y^2+1)=arctan(y)+C

後は元の変数に戻せばいいでしょう。