積分が解けないです

質問

∫[1→無限大]1/{x(x^2+1)}dx 答え…log√2

∫[-1→1]x^(-4)dx 答え…存在しない(無限大？)

解き方が知りたいです
教えてください
よろしくお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

前半)
x≧1より
I=lim(a→∞)∫[1→a]1/{x(x^2+1)}dx
=lim(a→∞)∫[1→a] {(1/x)-(x/(x^2+1))}dx
=lim(a→∞) [log(x)-(1/2)ln(x^2+1)][1→a]
=lim(a→∞) (1/2){log(a^2/(a^2+1))+ln(2)}
=(1/2)lim(a→∞) {-log(1+(1/a^2))}+(1/2)ln(2)
=(1/2)(-log(1+0))+(ln√2)
=0+ln(√2)
=ln(√2)

後半）
∫[-1→1]x^(-4)dx
=∫[-1→0]x^(-4)dx+∫[0→1]x^(-4)dx
=lim(ε→+0)[-1/(3x^3)][-1,-ε] +lim(ε→+0)[-1/(3x^3)][ε,1]　(0<ε<<1)
=lim (ε→+0) (1/3)[(1/ε^3)-1] +lim(ε→+0) (1/3)[-1+(1/ε^3)]
=∞　（発散)
つまり、積分値は存在しない。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

←A No.2 補足

一個め
部分分数分解を間違えている。
通分してみれば検算できるはず。
また、部分分数分解後の積分操作も
型通りのものだから、知らないならば
「有理式 積分」を google してみるべき。
この一問に限らず、次回からも
解けるように、手順を確認しておこう。
分母が二次式になった場合の処理は、
虚数係数で更に分解する方法と、
実関数に拘って、∫｛x/(xx+1)｝dx=log(xx+1) と
∫｛1/(xx+1)｝dx=arctan(x) を使う方法とがある。

二個め
分けた各々の積分の計算を間違えている。
不定積分を、補足に書いてごらん。
正しくは、∞-∞ 型の不定形になって、
積分は収束しないと判る。

回答No.2

alice_44

一個め
有理式の積分だから、型通りに、
被積分関数を部分分数分解して積分する。
…と言われて解らなければ、
「部分分数分解」が何者だか調べてみよう。
基本手技だから、これを機会にゼヒ知っておくべき。

二個め
積分区間を [-1,0] と [0,1] に分けて、
それぞれ積分してみる。不定積分が容易だから、
分けた積分で何が起こっているか
スグ確認できるだろう。

補足

一個め
部分分数分解をし、∫(1/x-1/(x^2+1)dxという式を作りました
しかし、どうしても答えにはならないです
積分をした後、いったいどうすればよいのでしょうか

二個め
分けて積分したら解が-2/3になりました
つまりどういうことですか

回答No.1

Tacosan

定義に従って計算する.

補足

すみませんがそういう回答は求めていません