数学III積分

質問

(1)∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx
答え…1/4

(2)∫0→a 1/(x^2+a^2)^2 dx
答え…π+2/8a^3

(3)∫0→1 x^3/√1+x^2 dx
答え…-√2/3+2/3

(4)∫1→2 1/e^-1 dx
答え…log e+1/e

友達も解けませんでした
計算過程を教えてください！

回答No.3

info22_

(1)
I=∫[0→1] x/(2-x^2)^2 dx
x^2=tとおき置換積分すると
　2xdx=dt
　x:0→1のとき　t:0→1
なので

I=∫[0→1] (1/2)/(t-2)^2 dt
=(1/2)[-1/(t-2)][0→1]
=(1/2)[1-(1/2)]=1/4 ←(答え)

(2)
a>0としておきます。
I=∫[0→a] 1/(x^2+a^2)^2 dx
x=atとおいて置換積分すると
　dx=adt
　x:0→aのとき t:0→1
I=(1/a^3)∫[0→1] 1/(t^2+1)^2 dt
=(1/(2a^3))∫[0→1] 2/(t^2+1)^2 dt
ここで
{t/(t^2+1)}' ={1/(t^2+1)}-2{t^2/(t^2+1)^2}={1/(t^2+1)}-2{(t^2+1-1)/(t^2+1)^2}
={1/(t^2+1)}-2[{1/(t^2+1)}-{1/(t^2+1)^2}]
=-{1/(t^2+1)}+{2/(t^2+1)^2}
であることを利用すれば
I=(1/(2a^3))∫[0→1] [{1/(t^2+1)}+{t/(t^2+1)^2}'] dt
公式∫1/(t^2+1)dt=tan^-1(t)+Cを用いて
I=(1/(2a^3))[tan^-1(t)+{t/(t^2+1)}][0→1]
=(1/(2a^3))[(π/4)+(1/2)]
=(π+2)/(8a^3) ←（答え）

(3)
I=∫[0→1] x^3/√(1+x^2) dx

1+x^2=tとおいて置換積分　2xdx=dt
=∫[1→2](t-1)/t^(1/2)dt/2
=(1/2)∫[1→2]{t^(1/2)}-{t^(-1/2)}dt
=(1/2)[(2/3)t^(3/2)-2t^(1/2)][1→2]
=(1/2)[(4/3)(√2)-(2/3)-(2√2)+2]
=(2-√2)/3 ←（答え）

(4)
I=∫[1→2] 1/((e^x)-1) dx
であるなら

I=∫[1→2] 1/((e^x)-1) dx
=∫[1→2] e^(-x)/(1-e^(-x))dx
=[log(1-e^(-x))][1→2]
=log(1-e^(-2))-log(1-e^(-1))
=log{(e^2-1)/(e(e-1))}
=log{(e+1)/e} ←（答え）
(logは自然対数、eはネイピア数)

回答No.2

yuchan24468

(1)と(3)について回答します。
(4)については、式がおかしいと思いますが（xが含まれていません。）

(1)∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx

2-x^2=ｔとおくと
-2xdx＝dt
xdx＝-dt/2

∫x/(2-x^2)^2 dx
＝-1/2∫1/ｔ^2 dt
＝1/2ｔ+C
＝1/2(2-x^2）+C
よって
∫0→1 x/(2-x^2)^2 dx
＝[1/2(2-x^2）]【1】-[1/2(2-x^2）]【0】
＝1/2-1/4
＝1/4

(3)∫0→1 x^3/√1+x^2 dx

√1+x^2＝ｔとおくと
1+x^2＝ｔ^2
2xdx＝2ｔdt
xdx＝ｔdt

∫x^3/√1+x^2 dx
＝∫(t^2-1)dt
＝1/3t^3-t+C
＝1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)+C

よって
∫0→1 x^3/√1+x^2 dx
＝[1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)]【1】-1/3(√1+x^2)^3-(√1+x^2)【0】
＝（2√2/3-√2)-(1/3-1）
＝-√2/3+2/3

回答No.1

bon_be

答えは本当ですか？
（１）７／４８
（２）（３）は確認していません。
（４）ｅ
と、なりません？

補足

確認しましたが、答えは本当でしたよ！