数III 積分教えてください

質問

(1)∫tanx^3 dx
tanx*tanx^2とし、1/cosx^2=tとして考えましたがうまくいきませんでした。
答え　(1/2)tanx^2+log|cosx|+C

（２）∫ｘcos3x dx
f(x)=x,g´（ｘ）=cos3x としましたがうまくいきませんでした。
答え　（ｘ/３）cos3x+(1/3)sin3x+C

(3)∫ｄｘ/｛√(x＋１)＋√ｘ｝
答え　（２/３）√（ｘ+1）＾３-（２/３）√ｘ＾３+C

解き方を教えてください。
詳しいとありがたいです。

回答No.3

musume12 · ベストアンサー

(1)
(tan x)^3=tan x*(tan x)^2=tan x {1/(cos x)^2-1}
=(tan x)/(cos x)^2-tan x

∫(tan x)/(cos x)^2=-∫(sin x)'/(cos x)^3 dx=1/2(cos x)^2+C1

∫tan x dx=-∫(sin x)'/cos x dx=-log|cos x|+C1

よって
1/2(cos x)^2+log|cos x|+C

回答No.4

alice_44

後で ∫ (sin x)/(cos x)3乗 dx にするくらいなら、
最初から (tan x)3乗 = (sin x)((sin x)2乗)/(cos x)3乗
= (-sin x)((cos x)2乗 - 1)/(cos x)3乗 のほうが
簡単な気がする。

最後に 1/(cos x)2乗 = 1 + (tan x)2乗 を使えば、
問題の「答え」と同じになる。

回答No.2

alice_44

(1)
t = cos x と置けばいい。

(2)
その解法でいい。
「答え」のほうが違っている。

回答No.1

asuncion

(3)
∫dx/(√(x+1)+√x)
=∫((√(x+1)-√x)/(√(x+1)+√x)(√(x+1)-√x))dx
=∫(√(x+1)-√x)dx
=∫((x+1)^(1/2)-x^(1/2))dx
ここで、
∫xⁿdx=(1/(n+1))xⁿ⁺¹+Cより、
与式=(2/3)(x+1)^(3/2)-(2/3)x^(3/2)+C
=(2/3)√(x+1)³-(2/3)√x³+C