積分教えてください

質問

∫（０～π/２）　x * (sinx)^3 dx

3倍角の公式を使って解いてみたのですが、答えがあいません。
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

答え　７/９

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞∫（０～π/２）　x * (sinx)^3 dx
３倍角の公式
sin^3（ｘ）＝(1/4)｛３sin（ｘ）－sin（３ｘ）｝より、
＝(3/4)∫（０～π/２）ｘsin（ｘ）ｄｘ－(1/4)∫（０～π/２）ｘsin（３ｘ）ｄｘ
２箇所で部分積分より、
ｆ'＝sin（ｘ）ｆ＝－cos（ｘ），ｇ＝ｘ，ｇ'＝１，ｈ＝sin（３ｘ），ｈ'＝-(1/3)cos（３ｘ）
＝(3/4)［－ｘcos（ｘ）］（０～π/２）＋(3/4)∫（０～π/２）cos（ｘ）ｄｘ
－(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）－(1/4)∫（０～π/２）(1/3)cos（３ｘ）ｄｘ
＝(3/4)［－ｘcos（ｘ）］（０～π/２）＋(3/4)［sin（ｘ）］（０～π/２）
－(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）－(1/4)（1/3)［(1/3)sin（３ｘ）］（０～π/２）
＝０＋(3/4)（１－０）－０－（1/4)（1/3)（1/3)（－１－０）
＝（３／４）＋（１／３６)
＝２８／３６
＝７／９

計算を確認してみて下さい。

補足

－(1/4)∫（０～π/２）ｘsin（３ｘ）ｄｘが
－(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）－(1/4)∫（０～π/２）(1/3)cos（３ｘ）ｄｘ
になる符号が合いません。
詳しく教えてください。

回答No.2

ferien

ANo.1です。

＞－(1/4)∫（０～π/２）ｘsin（３ｘ）ｄｘが
＞－(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）－(1/4)∫（０～π/２）(1/3)cos（３ｘ）ｄｘ
＞になる符号が合いません。
ｈ'sin（３ｘ），ｈ＝－(1/3)cos（３ｘ），ｇ＝ｘ，ｇ'＝１なので、
－［(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）
　　－(1/4)∫（０～π/２）｛－(1/3)cos（３ｘ）｝ｄｘ］
＝－［(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）
　　＋(1/4)∫（０～π/２）(1/3)cos（３ｘ）ｄｘ］
＝－(1/4)［－(1/3)ｘcos（３ｘ）］（０～π/２）－(1/4)∫（０～π/２）(1/3)cos（３ｘ）ｄｘ

になります。確認してみて下さい。