積分微分

質問

(1) ∫ x(x+4)^1/3 dx

(2) ∫ xsin2x dx

積分のあとに答えを微分をしたのを教えてください
お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
F=∫ x(x+4)^1/3 dx
部分積分の公式を使って
=x・(3/4)(x+4)^(4/3)-∫(3/4)(x+4)^(4/3)dx
=(3/4)x(x+4)^(4/3)-(3/4)∫(x+4)^(4/3)dx
=(3/4)x(x+4)^(4/3)-(3/4)(3/7)(x+4)^(7/3)+C
=(3/4)x(x+4)(x+4)^(1/3)-(9/28)(x+4)^2(x+4)^(1/3)+C
=(3/28){7x-3(x+4)}(x+4)(x+4)^(1/3)+C
=(3/28)(4x-12)(x+4)(x+4)^(1/3)+C
=(3/7)(x-3)(x+4)^(4/3) +C (Cは任意定数)

>積分のあとに答えを微分をしたのを教えてください
積の微分公式を使って積分結果のFを微分すると
F'=(3/7)(x+4)^(4/3)+(3/7)(x-3)(4/3)(x+4)^(1/3)
=(1/7){3(x+4)+4(x-3)}(x+4)^(1/3)
=(1/7)(7x)(x+4)^(1/3)
=x(x+4)^(1/3)
（被積分関数と一致）

(2)
F=∫ xsin(2x) dx
部分積分の公式を使って
=x(-1/2)cos(2x)+∫(1/2)cos(2x)dx
=-(1/2)x cos(2x)+(1/2)(1/2)sin(2x)+C
=-(1/2)x cos(2x)+(1/4)sin(2x)+C
(Cは任意定数)

>積分のあとに答えを微分をしたのを教えてください
積の微分公式を使って積分結果のFを微分すると
F'=-(1/2)x(-2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)+(1/4)2cos(2x)
=xsin(2x)-(1/2)cos(2x)+(1/2)cos(2x)
=xsin(2x)
（被積分関数と一致）

お礼

ありがとうございます。