積分について

質問

次の問題を積分するといくらになるか分かりますか。

1/(x^2+1)を(arctanx)'にし、置き換えてますが、最終的に答えと合いません。
y=-e^(2x)∫(x/(x^2+1))/(2-x)dx+xe^(2x)∫(1/(x^2+1))/(2-x)dx

答えは
y=(c1+c2x+xarctanx-(1/2)log(1+x^2))e^(2x)
となっています。

回答No.2

arrysthmia

積分定数の置きかたによる外見だけの違いでは、ない様子です。
目を通しましたが、カッ飛び過ぎていて、間違いの由来に見当がつきません。

= -e^(2x)∫x/(x^2+1)dx + xe^(2x)∫1/(x^2+1)dx
↑
「 /(2-x) 」がどうやって消えたのか不明。

= -e^(2x){ 1/(x^2+1)-∫(arctan x)dx } + xe^(2x){ x(arctan x)-(1/2)log(1+x^2) }
↑
何をどう勘違いすると、こうなるのか…
部分積分の式を間違えた？

= -e^(2x){ 1/(x^2+1)-1/(x^2+1) } + xe^(2x){ x(arctan x)-(1/2)log(1+x^2) }
↑
∫(arctan x)dx = 1/(x^2+1)　ではない。
微分と積分が逆？

回答No.1

arrysthmia

私には、わかりますが…
まず、貴方自身の答えを書かないと。

不定積分のコミ入った計算では、
途中の手順によって、積分定数の入り方に
見た目大きな違いが起こることが
少なくありません。
貴方の答えも、実は合っているかも知れません。

もし、間違いを探せというのならば、
間違いった計算に目を通さないと…

補足

遅くなってすいません。
私の回答を載せます。
問題より
=-e^(2x)∫x/(x^2+1)dx+xe^(2x)∫(1/(x^2+1)dx
=-e^(2x)｛1/(x^2+1)-∫(arctanxdx)｝+xe^(2x)｛xarctanx-(1/2)log(1+x^2)｝
=-e^(2x)｛1/(x^2+1)-1/(x^2+1)｝+xe^(2x)｛xarctanx-(1/2)log(1+x^2)｝
=xe^(2x)｛xarctanx-(1/2)log(1+x^2)｝
｝となりました。