数学Iです！

質問

全て異なっている3数、x、y、zが、x－2ｙ+ｚ=0およびx２乗+y２乗-2z２乗=0を満たすとき
x：y：z=□：1：□である。

という問題ですが、解説がなく、解き方がわかりません。教えてくださいよろしくお願いします!

回答No.1

tatata-0000 · ベストアンサー

x-2y+z=0　だから　z=2y-x
これを　x２乗+y２乗-2z２乗=0　に代入してzを消去する。
x２乗+y２乗-2(2y-x)２乗=0
x２乗+y２乗-2(4y２乗-4xy+x２乗)=0
x２乗+y２乗-8y２乗+8xy-2x２乗=0
x２乗-8xy+7y２乗=0
因数分解して　(x-y)(x-7y)=0　よって　x=yまたはx=7y
3数は異なっているから、x=yはありえない。よって　x=7y

同じように
x-2y+z=0　だから　x=2y-z
これを　x２乗+y２乗-2z２乗=0　に代入してxを消去する。
(2y-z)２乗+y２乗-2z２乗=0
4y２乗-4yz+z２乗+y２乗-2z２乗=0
5y２乗-4yz-z２乗=0
因数分解して　(5y+z)(y-z)=0　よってz=-5yまたはz=y
3数は異なっているから、z=yはありえない。よって　z=-5y

よって求める比は、x：y：z=7：1：-5

お礼

丁寧に説明してくださってありがとうございます!!
すっきりしました♪

回答No.2

info22_

x-2ｙ+ｚ=0 ...(1)
x^2+y^2-2z^2=0 ...(2)

x:y:z=a:1:b ...(3)
とおくと
x=ay,z=by (y≠0) ...(4)

(4)を(1),(2)に代入
y≠0より
　a-2+b=0 ...(5)
　a^2+1-2b^2=0　...(6)
この連立方程式を解くと
　(a,b,c)=(1,1,1),(7,1,-5)

∴x:y:z=1:1:1 または x:y:z=7:1:-5 ←（答え）

お礼

ありがとうございました!!
とても助かりました♪