高校数学Ｉの展開について

質問

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z) ^3　
の解き方がわかりません
解説おねがいします(>_<)

回答No.8

sunflower-san

No.5です。何度もすみません。

もう一つ誤植がありましたので訂正します。
式(0.3)が式(0.1)と同じになっていました。正しくは次の通りです：

(誤)：P(0,y,z) = (y+2z)^3 - (y+2z)^2 - (2z-y)^2 - (y-2z)^2 = 0

→ (正)：P(x,y,0) = (x+y)^3 - (y-x)^3 - (x-y)^3 -(x+y)^3 = 0

回答No.7

birth11

A^3 + B^3 = ( A + B ) ( A^2 - A B + B^2 )

A^3 - B^3 = ( A - B ) ( A^2 + A B + B^2 )

3乗するより 因数分解する。

( A + B + C )^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2 A B + 2 B C + 2 C A

そして2乗の展開をする。

計算間違いを起こさせる問題なので、間違わないように整理しながら解いていく。

答え 48 x y z

回答No.6

USB99

与式＝（x+y+2z)^3+(x-y-2z)^3-(x-y+2z)^3-(x+y-2z)^3　と変形

(1)項と(3)項について、a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)の公式を適応すると
a-bの項は2yになるから
(1)ー(3)＝8y^3+3(x+2z+y)(x+2z-y)(2y)=8y^3+6y・((x+2z)^2-y^2)．．．(5)

(2)項と(4)項についてa^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)の公式を適応すると
a-bの項は-2yになるから
(2)ー(4)＝－8y^3+3(x-2z-y)(x-2z+y)(-2y)=-8y^3-6y((x-2z)^2-y^2)...(6)

(5)＋(6)＝6y((x+2z)^2-y^2 - (x-2z)^2+y^2)
=6y((x+2z)^2-(x-2z)^2)=6y(x+2z+x-2z)(x+2z-x+2z)=6y(2x)(4z)=48xyz

違ってたらごめん。

回答No.5

sunflower-san

回答No.4です。誤植があったので訂正させてください。

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回答No.4

sunflower-san

式の性質を利用して、下図のように考えてみてはいかがでしょうか？

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回答No.3

KEIS050162

パズルみたいな問題ですね。

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z) ^3

変形し易い形に分けて、かつ、面倒なので前半と後半を分けてそれぞれやっつけてみます。
(x+y+2z)^3　-　(x+y-2z) ^3　-　{　(y+2z-x)^3　+　(2z+x-y)^3　}

まず前半部分
(x+y+2z)^3 - (x+y-2z) ^3
x+y = s　、2z = t　とでも置いてみます。

= (s+t)^3 - (s^t)^3
= { (s+t)-(s-t) }{ (s+t)^2 + (s+t)(s-t) + (s-t)^2 }

前の｛｝は2tです。後をやっつけます。
(s+t)^2 + (s+t)(s-t) + (s-t)^2
= {(s+t)+(s-t)}^2 - 2(s+t)(s-t) + (s+t)(s-t)
= 4s^2 - (s^2 - t^2) = 3s^2 + t^2

なので、
(x+y+2z)^3　-　(x+y-2z) ^3　= 2t(3s^2+t^2)

次に、放っておいた後半部に移ります。
(y+2z-x)^3　+　(2z+x-y)^3
x-y = u　、2z = t　とでも置いてみます。
= (t-u)^3　+　(t+u)^3
= { (t+u)+(t-u) } { (t+u)^2 - (t+u)(t-u) + (t-u)^2 }
前半部と同様に色々工夫すると、
= 2t { (t+u -t+u)^2 + 2(t+u)(t-u) - (t+u)(t-u) }
= 2t (3u^2+t^2)

ここで、前半部、後半部を合体させて、
= 2t ( 3s^2 + t^2 - 3u^2 - t^2 )
= 2t * 3 (s^2 -u^2)
= 6t (s+u)(s-u)

ここで、s,t,u　を戻して代入。

= 6*2z (x+y+x-y)(x+y-x+y)
= 12z * 2x * 2y
= 48xyz

間違ってたらごめんなさい。

ちょっとごちゃごちゃしていますが、落ち着いて式を変形させながらノートに書いてみてください。
パラパラとまるでパズルの様に解けると思います。

回答No.2

noname#180442

式を良く見ると、x + y と x - y を他の文字で置き換えれば、比較的簡単に因数分解をほどこしてから、展開できると思います。２項目の -(y + 2z - x)のところに符号の工夫と注意が必要です。

回答No.1

mamoru1220

まず、「(x+y+z)^3」の解き方はわかりますか。
それが分かれば、解けます。

(x+y+z)^3
x+y=aとおくと
(a+z)^3=a^3+3a^2z+3az^2+z^3
=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3z(x^2+2xy+y^2)+3z^2(x+y)+z^3
=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz

あとは当てはめてていくだけですよ。