高校数学の問題に答えてください

質問

実数ｘ、ｙ、ｚが条件ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１を満たすとき、ｘ＊ｘ＋ｙ＊ｙ＋２（ｚ＊ｚ）が最小となるときのｘ、ｙ、ｚ及びそのときの最小値を求める問題です。

ｘ＊ｘ、ｙ＊ｙ、ｚ＊ｚはｘ、ｙ、ｚの２乗のことです。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

x=1-2y-3z …(■)
x^2+y^2+2z^2=(1-2y-3z)^2+y^2+2z^2
=5y^2+12yz+11z^2-4y-6z+1=k
とおく。
5y^2+12yz+11z^2-4y-6z+1-k=0…(◆)
yの実数条件より
判別式D1=-19z^2+6z+5k-1≧0…(▲)
19z^2-6z-5k+1≦0…(●)
この不等式を満たす実数xが存在する条件より
判別式D2=9+19(5k-1)=5(19k-2)≧0
k≧2/19
kの最小値はk(min)=2/19
kは与式の値なので与式の最小値は k(min)=2/19

このとき のx,y,zを求めるには以下のように求めれば良い。
(●)から
19z^2-6z+9/19=19(z-3/19)^2≦0 ∴z=3/19
k=2/19,z=3/19…(◎)のとき(▲)の判別式D1=0
したがって(◆)に(◎)を代入すると
5*(y^2+8*y/19+16/361=0
(y-4/19)^2=0 ∴y=4/19
(■)から
　x=2/19

お礼

判別式の考え方に気づきませんでした。

　ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

やっぱり、計算ミスしてた。
最小値の値が綺麗にならなかった時点で、気がつくべき。。。。。ｗ

ｘ＝1-2ｙ-3ｚを　k＝x＾2＋y＾2＋2*z＾2に代入して、yについてそろえると、5y＾2-2（2-6z）y＋11z＾2-6z＋1-k＝0.‥‥(1)
yが実数から、判別式≧0.　従って、19z＾2-6z＋1-5k≦0.‥‥(2)
又、zが実数から、判別式≧0.　結果は、k≧2/19.‥‥(3)
この最小値を与えるx、y、z、の値は、(3)からk＝2/19　→　(2)　→　(1)として求まる。

お礼

わかりました。ありがとうございます。＾＾

回答No.1

mister_moonlight

一番簡単なのは、判別式を2回使う方法。

ｘ＝1-2ｙ＋3ｚを　k＝x＾2＋y＾2＋2z＾2に代入して、yについてそろえると、5y＾2-2（2＋6z）y＋11z＾2-6z＋1-k＝0.‥‥(1)
yが実数から、判別式≧0.　従って、19z＾2-54z＋1-5k≦0.‥‥(2)
又、zが実数から、判別式≧0.　結果は、k≧-142/19.‥‥(3)
この最小値を与えるx、y、z、の値は、(3)からk＝-142/19　→　(2)　→　(1)として求まる。

計算に自信なし、検算してね。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。＾＾