数学I 関数について

質問

半径1の円の直径をABとします。円周上の任意の点Pから端点Bにおけるこの円の接線に垂線PHを引きます。
AP=x,PH=y,z=5x+4yとする時、
(1)yをxの式で表してください。
(2)zの最大値、最小値を求めてください。

この問題の解説をよろしくお願いいたします。

回答No.3

muturajcp

(1)
0≦∠ABP≦π/2
x=|AB|sin∠ABP
↓|AB|=2だから
x=2sin∠ABP (0≦x≦2)

y=|PB|cos∠BPH
↓|PB|=|AB|cos∠ABPだから
y=|AB|cos∠ABPcos∠BPH
↓|AB|=2だから
y=2cos∠ABPcos∠BPH
↓PH//ABで錯角が等しいから∠BPH=∠ABPだから
y=2cos∠ABPcos∠ABP
↓cos∠ABPcos∠ABP=(cos∠ABP)^2だから
y=2(cos∠ABP)^2
↓(cos∠ABP)^2+(sin∠ABP)^2=1だから
↓(cos∠ABP)^2=1-(sin∠ABP)^2だから
y=2{1-(sin∠ABP)^2}
↓分配法則から
y=2-2(sin∠ABP)^2
↓x/2=sin∠ABPだから
∴
y=2-(x^2)/2
(0≦x≦2)

(2)
z=5x+4y
↓y=2-(x^2)/2だから
z=5x-2x^2+8
z=-2x^2+5x+8 (0≦x≦2)
だから
f(x)=-2x^2+5x+8
とすると
f(x)=-2(x-5/4)^2+89/8 (0≦x≦2)
f'(x)=-4x+5=5-4x
f(0)=8
0<x<5/4の時f'(x)>0だからf(x)は増加
f(5/4)=89/8
5/4<x<2の時f'(x)<0だからf(x)は減少
f(2)=10
x=5/4の時zの
最大値z=f(5/4)
89/8
x=0の時zの
最小値z=f(0)
8

回答No.2

muturajcp

(1)
0≦∠ABP≦π/2
x=|AB|sin∠ABP
↓|AB|=2だから
x=2sin∠ABP (0≦x≦2)

y=|PB|cos∠BPH
↓|PB|=|AB|cos∠ABPだから
y=|AB|cos∠ABPcos∠BPH
↓|AB|=2だから
y=2cos∠ABPcos∠BPH
↓PH//ABで錯角が等しいから
↓∠BPH=∠ABPだから
y=2(cos∠ABP)^2
y=2[1-{sin(∠ABP)^2}]
y=2-2{sin(∠ABP)^2}
↓x/2=sin∠ABPだから
∴
y=2-(x^2)/2
(0≦x≦2)

(2)
z=5x+4y
↓y=2-(x^2)/2だから
z=5x-2x^2+8
z=-2x^2+5x+8 (0≦x≦2)
だから
f(x)=-2x^2+5x+8
とすると
f(x)=-2(x-5/4)^2+89/8 (0≦x≦2)
f'(x)=-4x+5=5-4x
f(0)=8
0<x<5/4の時f'(x)>0だからf(x)は増加
f(5/4)=89/8
5/4<x<2の時f'(x)<0だからf(x)は減少
f(2)=10
x=5/4の時zの
最大値z=f(5/4)=
89/8
x=0の時zの
最小値z=f(0)=
8

補足

(1)の12、13、14行目あたりの式の変形が何故そうなるのかわかりません。

回答No.1

gamma1854

∠PBA=φ, (0≦φ≦pi) とすると、
4 - x^2 = (2*cosφ)^2, 2*(cosφ)^2 = y.
ですからこれから、
y = (4 - x^2)/2. (0≦x≦2)
2) z = 5x + 4(4 - x^2)/2. (0≦x≦2)
ですからあとは２次関数の問題です。
--------------
max(z)=89/8, nin(z)=2.