数学の問題

質問

数学の問題
こんにちは。高校一年の男子です。
明日テストで、学校のテキストの章末問題を解いていたところ、わからない問題がありました。このテキストは解説がないので、わからないままで精神的に落ち着きません。ぜひ解説お願いします。

問題
x≧０、y≧０、x＋y≧１のとき、z=x'＋xy＋y'－ｘ－ｙの最大値・最小値を求めよ。
です。x'はx二乗、という意味です。

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

y=0とするとz=x^2-x,x→∞でz→∞で最大値はない。
最小値は
z=x^2＋xy＋y^2－ｘ－ｙ
=x^2+(y-1)x+y^2-y
=(x+(y-1)/2)^2+3(y-1/3)^2/4-1/3

x+(y-1)/2=0
y=1/3
の解は
x=1/3, y=1/3

これはx＋y≧１を満たさない。
従って最小値は境界上にある。

境界x=0ではz=y^2-y=(y-1/2)^2-1/4,
y=1/2のときx＋y≧１を満たさない
x＋y≧１を満たす最小のy=1,
この時ｚ＝0

境界ｙ=0上ではx=0の場合との対称性により
x=1でz=0

境界x+y=1上では
z=x^2＋xy＋y^2－ｘ－ｙ=(x+y)^2-xy-(x+y)=-xy
=x(x+1)=(x-1/2)^2-1/4
よって
x=y=1/2のときz=-1/4が最小値。

回答No.1

sak_sak

最大値って存在しない(どこまでも大きくなる)ような…