数学Aの問題です。

質問

nが３以上の整数の時、xのn乗＋2掛けるyのn乗＝4掛けるzのn乗はx=y=z=0以外に存在しないことを証明せよ。　この問題の解き方を詳しく教えて下さい。お願いします

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

まあ、n乗が出てくる時点で数学Ａではないですが

x,y,zの０でないもののうち2の指数の最小のものをNとすると、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数となる。
ここまではわかりますね？

ここで、奇数になるのがx/2^N（＝aとします）である場合、y/2のN乗=b、z/2のN乗=cとすると
a^n + 2*b^n = 4*c^n を満たします。しかし、a≠0と仮定すると、これは丸１を満たさないので、矛盾する。よって、a=0である。ということです。

補足

x,y,zの０でないもののうち,2の指数の最小のものをＮとするとってどういういみですか？あと、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数になるってどういう意味ですか？この質問が最後です。

回答No.4

mister_moonlight

高校1年生（？）には、とても無理。無限降下法というのがある。

http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50683351.html

この問題は、無限降下法のサンプルに良く使われている。とても高校生に理解できるとは思われないが。

x＾n＋2y＾n＝4z＾n　で検索しても結構取り上げられている。

回答No.2

handarin

あらかじめ断っておきますが、高１の数Aの知識オンリーだとちょっと苦しいかもしれません。

Xのn乗＝X^nとかく。掛け算記号×は省略
X,Y,Zいずれも0じゃないと仮定して矛盾を導きます。
n≧3のとき
　X^n+2(Y^n)=4(Z^n)　が成り立つとする。
仮にXが奇数であるとすると、奇数+偶数=偶数となってしまい、矛盾してしまう。
したがってXは偶数である。そこでX＝2xとおくと、(2x)^n=(2^n)(x^n)より
　(2^n)(x^n)+2(Y^n)=4(X^n)　両辺2で割って
　(2^(n-1))(x^n)+(Y^n)=2(X^n)　
となる。2^n÷2＝2^(n-1)に注意
ここでYが偶数であると仮定すると、さっきと同様に矛盾なので、Yも偶数である。
そこでY=2yとおくと
　2^(n-1)x^n+2^ny^n=2Z^n　　両辺を2で割って
　2^(n-2)x^n+2^(n-1)y^n=Z^n　となる
同様の議論でZも偶数と分かり、Z=2zとおけば
　2^(n-2)x^n+2^(n-1)y^n=(2^n)(z^n)　両辺を2^(n-1)で割って
x^n+2y^n=z^n

これはもとの式と同じである。
したがって上の議論を繰り返せばX,Y,Zは、何度でも2で割り切れることになってしまう
これは矛盾である。

Xだけが0の場合、Yだけが0の場合なども、同じように出来ます。

補足

なるほど。そのやり方は分かりましたが、この回答の意味を教えて下さい。　導き出してx,y,zは2の倍数・・・・・丸1　　x=2k,y=2m,z=2sとおいて題意の式に代入してそれを2のn乗で割ると、kのn乗＋2掛けるmのn乗＝4掛けるsのn乗。よってk,m,sは題意の式を満たすから、x,y,zが題意の式を満たせばx/2,y/2,z/2も題意の式を満たす・・・・・・丸2　　仮定により、x,y,zのうち少なくともひとつは０でない。０でない整数はすべて、２のp乗×(2q-1)［p,qは整数で、pは０以上］で表される。よってx,y,zの０でないもののうち2の指数の最小のものをNとすると、x/2のN乗、y/2のN乗、z/2のN乗のうち少なくともひとつは奇数となる。
故に、x,y,zは、丸2により題意の式を満たすが、丸1を満たさないから矛盾する。
したがって、nが３以上の整数の時、題意の式を満たす整数x,y,zはx=y=z=0だけである。

後半意味分からないです

回答No.1

owata-www

このままだと、丸投げ（禁止事項）も同然なのでヒントだけ

Ｘ＝ａ＊２＾ｂ（ａは２を因数に持たない）と置いてみるとか、もう少しうまいやり方もあるかもしれませんが