この問題教えて下さい！

質問

区間(-π≦x≦π)で定義された関数f(x)を-∞<x<+∞に周期的に拡張して得られる関数をf(x)とする。この関数のフーリエ展開を求めよ。
(1)|x|≦π/2では1,|x|>π/2では0
(2)|sinx|

回答No.2

info22_

(1)
a[0]=(2/π)∫[0,π/2] 1dx=1
a[n]=(2/π)∫[0,π/2] 1*cos(nx)dx=(2/(nπ))sin(nπ/2)
b[n]=0
f(x)=(1/2)+Σ[n=1,∞] (2/(nπ))sin(nπ/2)cos(nx)

(2)
a[0]=(2/π)∫[0,π] sin(x)dx=4/π
a[1]=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(x)dx
=(1/π)∫[0,π] sin(2x)dx=0　(∵sin(2x)の１周期π区間積分)
a[n]=(2/π)∫[0,π] sin(x)cos(nx)dx=-(2/π){1+(-1)^n)}/(n^2-1)(n≧2)
b(n)=0
f(x)=(2/π)-(2/π)Σ[n=2,∞] {1+(-1)^n}cos(nx)/(n^2-1)

[検証] nの上限を制限してグラフを描いて見ると正しく変換できていることが確認できます。

回答No.1

Tacosan

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