積分 証明 問題

質問

積分　証明　問題

（1）∫[0~π]（x・sinx）dxをx=π-tとおいて求めなさい。
（2）ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
∫[0~π]x・f（sinx)dx
=π/2∫[0~π]f（sinx）dx

（1）はπと求めることが出来ました。

（2）も（1）と同様に置換して証明できました。
問題にある「ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき」に関しては
特に何も考えなかったのですが「ｆ（ｘ）が区間[-1,1]で連続であるとき」
とは何を言いたいのでしょうか？sinxの周期は-1から1なので、
単純にｆ（x）が連続のときと解釈してよいですか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#125930 · ベストアンサー

f(x)が区間[-1,1]で連続という条件が入っているからf(sinx)は実数全体で連続といえる。
合成関数の連続性を見直すとよい。sinxはxについて連続なのは確かであるが、f(x)が[-1,1]で
連続でなければf(sinx)は実数全体に連続にならない。

というか積分区間は[0,π]だからfが[0,1]で連続と制約されてもいいはず。いずれにしてもf(x)のある区間において連続という条件がなければいけない。