正弦フーリエ級数について教えてください。

質問

正弦フーリエ級数について教えてください。

区間[0,π]で定義された関数、
f(x)={x(0<= x <π/2)、0(π/2<= x <=π)}
について、f(x)の正弦フーリエ級数を求める問題です。

一般に、2Lを周期にもつ関数g(x)について、
g(x)=Σ(n=1→∞)bn(sin(nπx/L))
となります。
自分は、f(x)の周期はπなので2L=π,よってL=π/2である、と考えたのですが、解答にはL=πと書いてありました。実際L=πで計算していくと正しい結果になるのですが、私の考え方のどこが間違いなのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

g(x)で表される関数は奇関数です。
与えられたf(x)は区間[0,π]で定義されているだけですが、g(x)の形のフーリエ級数変換を適用する場合は、定義区間外を含めて奇関数の周期関数となるように区間[-π,0]を補ってやる必要があります。
つまり、
[0,π]でf(x)
[-π,0]で-f(x-π)
となる周期2L=2πの周期関数h(x)を考えてそのフーリエ級数展開（奇関数のフーリエ級数展開）をしてやります。
勿論、区間[0,π]ではh(x)=f(x)と一致します。したがって、奇関数h(x)のフーリエ級数展開公式を使う場合、積分区間は[0,π]でこの区間ではh(x)の代わりにf(x)が使えます。

解答では、以上の説明が省略されているため、奇関数としての周期2L=2πからL=πとなることが分かりづらいかもしれません。

>自分は、f(x)の周期はπなので2L=π,よってL=π/2である、と考えたのですが、
間違いですね。

これは、区間[0,π]のf(t)を区域外にもf(x-nπ)を補って
周期2L=πの関数と考えた場合,出来た関数は奇関数にはなりません。つまり奇関数g(x)の正弦フーリエ級数展開公式は適用できないということです。

お礼

納得できました。詳しい回答ありがとうございました！