数学のフーリエ級数展開およびデルタ関数の問題です！

質問

数学のフーリエ級数展開、およびデルタ関数の問題です！助けて下さい（＞＜；）

(1) f(x)=e^x (0≦x≦π) をフーリエ・サイン級数に展開せよ。

(2) f(x) (-π＜x＜π) のフーリエ級数展開に対して、パーセバルの等式
(1/π)∫[-π,π]|f(x)|^2・dx=(a0^2/2)+Σ[n=1,∞](an^2+bn^2)が成り立つことを利用して
Σ[n=1,∞](1-(-1)^n・e^π)^2・n^2/(n^2+1)^2の値を求めよ。

(3)デルタ関数δ(x)に対して∫[-π/2,π/2]δ(sinx)cosxdxの値を求めよ。

以上の3問です。本当に困っています(；＿；)
途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。

これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。
http://book.geocities.jp/yukarin6127/f_kyusu.htm
よろしくお願い致しますm(＿)m

回答No.1

info22_

(1)
公式もプリントに載ってるのでどこにでも載ってる簡単な積分をするだけ。
簡単な積分なので自分で出来るだろ！
ちょっと気がかりなのは
>f(x)=e^x (0≦x≦π)
とあるが、フーリエ級数の基本周期Tはどうなっていますか?
>フーリエ・サイン級数
とあるので奇関数の用でもある。
つまり、-π≦x≦0でのf(x)の定義はどうなってますか？

(2)
ここでのf(x)の定義は(1)と同じですか?
積分区間[-π,π]から基本周期Tが T=2π　のようにもとれる。
そうなら、f(x)=？ (-π≦x≦0) がどうなっているか分からない。

f(x)=e^x (-π≦x≦π)　なのか、
f(x)=e^x (0＜x≦π), f(x)=-e^(-x) (-π≦x＜0)、f(x)=0 (x=0）なのか
どうなんですか？

(3)
sin(x)=tと置換積分してください。
x:[-π/2,π/2]　→　t:[-1,1]
cos(x)dx=dt
なので
∫[-π/2,π/2]δ(sinx)cosxdx=∫[-1,1]δ(t)dt=1
と求まる。