不等式

質問

三角形ABCにおいて、
↑AB・↑AC＝X　↑BA・↑BC＝Y　↑CB・↑CA=Z

このときXY＋YZ＋ZA＞０を証明しろという問題なんですが…
AB=c　BC=a　CA=b として計算し、さらにc＾2=C a＾2=A b＾2=Bとすると、XY＋YZ＋ZX＝-A＾2-B＾2-C＾2+2(AB+BC+CA)となったんですけど、０以上の証明ができません。どなたか解説お願いします。

回答No.2

imopro · ベストアンサー

#1の方．色々と勘違いしてますよ．
題意から直角三角形でない事は言えないし，∠BACが鈍角の時は，X<0,Y>0,Z>0なので，XY+YZ+ZXの正負は（この条件だけでは）不明です．

計算した所，XY＋YZ＋ZX={-A^2-B^2-C^2+2(AB+BC+CA)}/4となりました．従って，-A^2-B^2-C^2+2(AB+BC+CA)>0（*）を示せばいいんです．
そこで，左辺を変形し(A+B+C)^2-2(A^2+B^2+C^2)としたんですが，なかなかうまくこれを正といえなかったので，一から考え直してみました．

（*）の左辺において，A,B,Cを使わずにa^2,b^2,c^2に戻して試行錯誤すると，次のように因数分解ができました．
(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)…（**）

ここで，a,b,c>0より，a+b+c>0．
また，三角形の成立条件より，b+c-a>0，c+a-b>0，a+b-c>0も言えます．
従って，（**）>0

∴XY＋YZ＋ZX>0

ややこしい因数分解に慣れているか否か，がポイントでしょうかね．
一応，検算してみてください．

お礼

解説ありがとうございました！

回答No.5

kkkk2222

P=XY＋YZ＋ZX
=(↑AB・↑AC)(↑BA・↑BC)
　+(↑BA・↑BC)(↑CB・↑CA)
　　+(↑CB・↑CA)(↑AB・↑AC)

=(bc*cosA*ac*cosB)+(ac*cosB*ba*cosC)+(ba*cosC*bc*cosA)
={bacc}{(bb+cc-aa)/2bc}{(cc+aa-bb)/2ca}
　+{cbaa}{(cc+aa-bb)/2ca}{(aa+bb-cc)/2ab}
　　+{acbb}{(aa+bb-cc)/2ab}{(bb+cc-aa)/2bc}

4P={(b^2)+(c^2)-(a^2)}{(c^2)+(a^2)-(b^2)}
　　　+{(c^2)+(a^2)-(b^2)}{(a^2)+(b^2)-(c^2)}
　　　　+{(a^2)+(b^2)-(c^2)}{(b^2)+(c^2)-(a^2)}

={(b^2)+(c^2)-(a^2)+(a^2)+(b^2)-(c^2)}{(c^2)+(a^2)-(b^2)}
　　　+{(b^2)+{(a^2)-(c^2)}}{(b^2)-{(a^2)-(c^2)}}

=2(b^2)}{(c^2)+(a^2)-(b^2)}+{(b^4)-{{(a^2)-(c^2)}^2}}
={2(b^2)(c^2)+2(b^2)(a^2)-2(b^4)}+{(b^4)-(a^4)+2(a^2)(c^2)-(c^4)}
={2(b^2)(c^2)+2(b^2)(a^2)+2(a^2)(c^2)-(b^4)-(a^4)-(c^4)}

-4P=(b^4)+(a^4)+(c^4)-2(b^2)(c^2)-2(b^2)(a^2)-2(a^2)(c^2)
=(a^4)-2{(b^2)+(c^2)}(a^2)+{{(b^2)+(c^2)}^2}-4(b^2)(c^2)
={{(a^2)-(b^2)-(c^2)}^2}-{(2bc)^2}
={(a^2)-(b^2)-(c^2)-2bc}{(a^2)-(b^2)-(c^2)+2bc}
={(a^2)-{(b^2)+(c^2)+2bc}}{(a^2)-{(b^2)+(c^2)-2bc}}
={(a^2)-{(b+c)^2}}{(a^2)-{{(b-c)^2}}}
=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)

4P=(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b)>0

回答No.4

kumipapa

AB=c, BC=a, CA=b とし、頂点Ａ，Ｂ，Ｃにおける頂角をα, β, γ とすると、
X = bc cosα
Y = ca cosβ
Z = ab cosγ
ここで、
cosγ = cos(180-α-β) = -cosα・cosβ　+ sinα・sinβ
c = a cosβ + b cosα （第一余弦定理）
を利用して計算すると、
XY + YZ + ZX = ab(c^2) sinα・sinβ ＞０
を示すことができます。

お礼

別解ありがとうございます！

回答No.3

kumipapa

＃２さん、私、すっごい勘違いしてた。
↑AB・↑AC＝X　↑BA・↑BC＝Y　↑CB・↑CA=Z
というのが左端から右端までつながっているのだと思い込んでしまったんです。スペース区切りで別の式ってことだったんですね。
なんだ、そうかー。
なるほど、納得です。

回答No.1

kumipapa

確認ですが、
↑ＡＢ・↑ＡＣは、ベクトルの内積の意ですよね。
それから、XY＋YZ＋ZA＞０というのは、XY＋YZ＋ZX＞０の誤記ですね。

としますと、XY＋YZ＋ZX＞０は必ずしも成り立たないと思います。

まず最初に、題意から三角形ＡＢＣは直角三角形ではない。

三角形ＡＢＣが鋭角三角形であれば、どの頂角でも頂角をはさむベクトルの内積は正ですから、Ｘ，Ｙ，Ｚは全て正。故に、ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＞０。

鈍角三角形の場合でも、∠ＢＡＣが鈍角ならば、↑ＡＢ・↑ＡＣが負（即ちＺが負）で、↑ＢＡ・↑ＢＣと↑ＣＢ・↑ＣＡは正なのでＸ，Ｙは負。結果、Ｘ，Ｙ，Ｚが全て負になるのでＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＞０。

問題なのが三角形ＡＢＣが鈍角三角形で、∠ＢＡＣ以外の１つの角が鈍角の場合。このとき、ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸは必ず負になると思います。

（例えば、底辺ＡＢ＝√３、ＢＣ＝ＣＡ＝１の二等辺三角形ではＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＝－６）

私、何か勘違いしているでしょうか？または、問題文の中で、三角形に他の条件が付加されていませんか？

それから、質問者が計算された
XY＋YZ＋ZX＝-A＾2-B＾2-C＾2+2(AB+BC+CA)
は、どうしてそのような計算になったのか示して頂きたい。