至急お願いします！！

質問

問題　a,b,cを実数とするとき、次の不等式を証明しなさい。また、等号が成り立つのはどんな時か。
（1）a*2+b*2+c*2≧ab+bc+ca
これが、成り立つのはわかりました。
（2）a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)の証明で、解答が
（1）を利用して、
　　a*4+b*4+c*4≧a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2
≧(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c)

となってるんですが・・・いまいち式の変形が理解できません。　特に、最後の一行への変形が・・・・・・

*2は、二乗。*4は、四乗の意味です。
教えてください・・・・・お願いします。

回答No.3

fuuraibou0

（１）が成り立つのがわかったら、

Ａ^2＋Ｂ^2＋Ｃ^2≧ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ　に　Ａ＝ａ^2、Ｂ＝ｂ^2、Ｃ＝ｃ^2　を代入して、

(ａ^2)^2＋(ｂ^2)^2＋(ｃ^2)^2≧(ａ^2)(ｂ^2)＋(ｂ^2)(ｃ^2)＋(ｃ^2)(ａ^2)＝(ａｂ)^2＋(ｂｃ)^2＋(ｃａ)^2 で、

また、Ｄ＝ａｂ、Ｅ＝ｂｃ、Ｆ＝ｃａ　と置いて、（１）を利用すると、

Ｄ^2＋Ｅ^2＋Ｆ^2≧ＤＥ＋ＥＦ＋ＦＤ　だから

(ａｂ)^2＋(ｂｃ)^2＋(ｃａ)^2≧(ａｂ)(ｂｃ)＋(ｂｃ)(ｃａ)＋(ｃａ)(ａｂ)＝ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)

よって、ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4≧ａｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)　です。

回答No.2

abyss-sym

a*2=A,b*2=B,c*2=C として
a*4+b*4+c*4 = A*2+B*2+C*2 とすると
(1)より,
a*4+b*4+c*4≧AB+BC+CA=a*2b*2+b*2c*2+c*2a*2=(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2
となります。
ここで,ab=P,bc=Q,ca=R として
(ab)*2+(bc)*2+(ca)*2=P*2+Q*2+R*2
(1)を使って
P*2+Q*2+R*2≧PQ+QR+RP=(ab)・(bc)+(bc)・(ca)+(ca)・(ab)=abc(a+b+c)
したがって,a*4+b*4+c*4≧abc(a+b+c)

回答No.1

ka1234

こんにちは。

(1)A^2+B^2+C^2≧AB+BC+CA（等号成立はA＝B＝Cの時）
を、２回繰り返し使います。

(2)　a^4+b^4+c^4
＝(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2として、(1)の公式を使うと(a^2＝A）、

≧(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)
（等号成立はa^2=b^2=c^2）・・・[1]

＝(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2として、(1)の公式を使うと(ab＝A）、

≧(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab)
（等号成立はab=bc=caの時）・・・[2]

＝abc(a+b+c)（証明終わり）

等号成立は、[1][2]より、a＝b＝cの時
（[2]だけではなく、[1]の成立も必要です）