等式・不等式の証明

質問

a>0,b>0のとき、次の不等式を証明せよ。
また、等号が成り立つ場合を調べよ。
〔解〕
(a + 1/b)(b + 1/a)≧4
(a + 1/b)(b + 1/a)=2+ab+(1/ab)
a>0,b>0　より　ab>0,1/ab>0
よって
2+ab+(1/ab)≧2+2√ab×1/ab
　　　　　 ＝2+2
　　　　　 ＝4
ゆえに(a + 1/b)(b + 1/a)≧4
等号が成り立つのは、ab=1/ab より　ab=1　のとき

上に問題と模範解答を写したのですが、
「等号が成り立つのは、ab=1/ab より　ab=1　のとき」の部分がわかりません。
ab=1/ab はどこから出てきたのですか？

回答No.7

pakusann

a+b≧2√abにおいてa=bの時、等号が成立する理由は公式でもなんでもありません。
ただ上の式の両辺が０以上より二乗して左辺引く右辺をすると
(a-b)＾2≧0となりこの場合等号が成立するのはa=bと言ってるだけです。

回答No.6

mister_moonlight

うっかりミス。

（誤）（解）の2行目　(a + 1/b)(b + 1/a)＝2+ab+(1/ab)＝{（ab）＾2-2ab＋1}/ab＝（ab-1）＾2/ab≧0.　但し、a＞0、b＞0。

（正）（解）の1行目　左辺-右辺＝(a + 1/b)(b + 1/a)-4＝-2+ab+(1/ab)＝{（ab）＾2-2ab＋1}/ab＝（ab-1）＾2/ab≧0.　但し、a＞0、b＞0。

回答No.5

bgm38489

c+d≧2√ｃｄにおいて、等号が成り立つのは、c＝dのときですね？
左辺＝2c
右辺＝2√c^2＝2c

回答No.4

Kules

私がバイトで教えていたときは解答に書くように徹底して教えていたのですが模範解答には書いてなかったんですかね。
これは(相加平均)≧(相乗平均)の関係で、よく相加相乗平均とか言われるやつです。
A>0,B>0の時A+B≧２√(AB)
等号成立はA=Bの時
という関係式を使っています。

回答No.3

spring135

2+ab+(1/ab)≧2+2√ab×1/ab
において＝が成り立つ条件から出ました。
一般に相加平均と相乗平均の関係
a+b≧ab　　（a>0,b>0）
において＝が成たつのは
a=b
のときです。

回答No.2

mister_moonlight

相加平均・相乗平均を使うなら。

a＞0、b＞0から、a + （1/b）≧2√（a/b）‥‥(1)　等号は、a＝1/bの時。
b + 1/a≧2√（b/a）‥‥(2)　等号は、1/a＝bの時。
(1)と(2)を掛けると、(a + 1/b)(b + 1/a)≧4。等号は、1＝abの時

回答No.1

mister_moonlight

＞ab=1/ab はどこから出てきたのですか？

（解）の2行目　(a + 1/b)(b + 1/a)＝2+ab+(1/ab)＝{（ab）＾2-2ab＋1}/ab＝（ab-1）＾2/ab≧0.　但し、a＞0、b＞0。
等号は、ab-1＝0の時。