等式の証明

質問

実数a, b, cがあるとき

a^2=b^2=c^2 かつ ab=bc=ca

ならば

a=b=c

であることを、正確に証明していただけませんか？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ａがゼロでないとすると第一式よりｂもまたゼロではない。このとき第二式の各辺をａで割るとｂ＝ｃ、ｂで割るとａ＝ｃが導かれる。（この場合ｃもゼロではないので第二式をａｂｃで割って１／ａ＝１／ｂ＝１／ｃというのもあり）
ａがゼロだとすると第一式よりａ＝ｂ＝ｃ＝０

お礼

回答ありがとうございます!!

a^2=b^2=c^2 …(1), ab=bc=ca …(2)

a≠0のとき(1)よりb≠0, c≠0
よって
(2)⇔ab=bcかつbc=caかつca=ab
をそれぞれb, c, aで割ると
a=c かつ b=a かつ c=b
である. すなわち
a=b=c

a＝0のとき(1)より
a=b=c(=0)

よって、証明された.

ということですね!!
本当によく解りました。
ありがとうございました!!

回答No.3

nagi_szn

c=0のとき、a^2=b^2=c^2=0だから、a=b=c=0となり成り立つ。

c≠0のときは、a^2=c^2より、a≠0
a^2=b^2の両辺にcをかけて、a*ca=b*bc
仮定より、bc=caだから、a*ca=b*ca
今、c,a≠0よりca≠0だから、a=bが分かる。
その他の場合も同様。

よって、a=b=cが分かる。

回答No.2

toranekosan222

式を良く見ると、すぐに答えが出てきますよ。

a^2=b^2
a^2-b^2=0
(a-b)(a+b)=0

bc=ca
c(a-b)=0

よって、(a-b)(a+b+c)=0 ----1

b^2=c^2
(b-c)(b+c)=0

ab=ac
a(b-c)=0

よって、(b-c)(a+b+c)=0 ----2

以下同様に
(c-a)(a+b+c)=0 ----3

1,2,3,より、
a+b+c=0(a=b=cではない）あるいは、a=b=c の解のみが満たす方程式。

a=b=cではなく、a+b+c=0だとすると、
(a-b)(a+b)=0
(a-b)(-c)=0
となり、c=0,a=-b
一方で、
ac=ab
0=-a^2
となるので、a=0
よって、b=0
つまり、a=b=c=0となり、a=b=cでないことと矛盾する。

一方で、a=b=cとするとすべての式を満たすので、
a=b=c=x (xは任意の実数）

というわけですよ。