絶対値を含む不等式の証明がわかりません

質問

(問)次の不等式を証明せよ。
1.|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|

(答)
|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|
＝2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}≧0
ここからどうやってやるのかがわかりません。

|ab|≧abだから、
(|ab|+|b|)^-|a+b|^＝2(|ab|-ab)≧0
したがって|a+b|^≦(|a|+|b|)^
よって、|a+b|≦|a|+|b|
をうまく利用して証明するみたいなんですけど‥

解説よろしくお願い致します。

回答No.3

TM_macchan · ベストアンサー

「（答）」の部分の２行が分からないのですが、２行目の左辺は何でしょうか。
あと、「|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|」であることを証明するのですから、証明の途中でこの関係を使えないですよね。

|a+b|≦|a|+|b|を使って証明するのであれば、＃１、＃２さんのようなシャープな証明があります。

|ab|≧abを使うのであれば、ゴチャゴチャしますが、
次のように証明することができます。

とりあえず、(|a|+|b|+|c|)^2-(|a+b+c|)^2の正負を考えることにします。
(|a|+|b|+|c|)^2=a^2+b^2+c^2+2|ab|+2|bc|+2|ca| (∵|x||y|=|xy|)
(|a+b+c|)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
だから、
(|a|+|b|+|c|)^2-(|a+b+c|)^2 = 2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)} …(1)
|ab|≧abだから、(1)の右辺は０以上。
つまり、(|a|+|b|+|c|)^2-(|a+b+c|)^2≧０…(2)

ところで、
(|a|+|b|+|c|)^2-(|a+b+c|)^2
= (|a|+|b|+|c|-|a+b+c|)×(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)
これと(2)から、
(|a|+|b|+|c|-|a+b+c|)×(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)≧０
つまり、
|a|+|b|+|c|-|a+b+c|と|a|+|b|+|c|+|a+b+c|とは同符号又は少なくともどちらかが０…(3)

ところで、
絶対値の定義から、|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≧０
これと(3)から、|a|+|b|+|c|-|a+b+c|≧０
つまり、|a|+|b|+|c|≧|a+b+c|　Ｑ．Ｅ．Ｄ

この証明では、|a+b|≦|a|+|b|の関係式は使いません。
質問者の（答）の２行目は、
この方法で証明しようとしたときの(1)でしょうか。

数学的に正しく証明できていれば、どんな手を使っても正解ですが、
一行で証明が終了する＃１や＃２の方が「単純で綺麗」ですね。

回答No.2

googoogirl

|a+b|≦|a|+|b|
より|a+b+c|=|(a+b)+c|≦|a+b|+|c|≦|a|+|b|+|c|
と習った記憶があります。
あまりに鮮やかだと思うので、記憶に残っているのでしょう。

回答No.1

owata-www

|x+y|≦|x|+|y|より、
|a+(b+c)|≦|a|+|b+c|≦|a|+|b|+|c|
です。