ヘルダーの不等式の証明について教えて下さい

質問

教科書のヘルダーの不等式Σ|akbk|≦(Σ|ak|^p)^(1/p)+(Σ|bk|^q)^(1/q)を示す解説で(Σはk=1からnまで足してます)次のように書いてありました。
「この不等式が斉次、つまり2つのベクトル
a=(a1,a2,・・・an),b=(b1,b2,・・・bn)
によって満たされるなら、Aa,Ba(A,Bは任意の数)によっても満たされる。
よってこの不等式の証明はΣ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の条件の時Σ|akbk|≦1を示せばよい」
としてこのΣ|akbk|≦1の証明が書いてありました。この式の証明は理解できたのですが、
不等式が斉次ならAaBaによっても満たされるので証明はΣ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の時だけでよい、というのが分かりません。
図書館やネットで調べたのですが、Σ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の時、Σ|ak|^p=α,Σ|bk|^q=βの時、のようにきちんと分けられていました。2つとも証明は理解できたのですが、教科書の「不等式が斉次ならAaBaによっても満たされるので」のような言葉で済ませてもいいのでしょうか？
ここらが良く分からないので分かる方、お願いいたします

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

そのヘルダーの不等式の右辺は
(Σ|ak|^p)^(1/p)+(Σ|bk|^q)^(1/q)
和ではなく
(Σ|ak|^p)^(1/p)(Σ|bk|^q)^(1/q)
積です

1/p+1/q=1
Σ_{k=1～n}|a(k)b(k)|≦(Σ_{k=1～n}|a(k)|^p)^{1/p}(Σ_{k=1～n}|b(k)|^q)^{1/q}
この不等式が
a={a(k)}_{k=1～n}
b={b(k)}_{k=1～n}
によって満たされるなら

Σ_{k=1～n}|Aa(k)Bb(k)|
=|AB|Σ_{k=1～n}|a(k)b(k)|
≦|AB|(Σ_{k=1～n}|a(k)|^p)^{1/p}(Σ_{k=1～n}|b(k)|^q)^{1/q}
=(Σ_{k=1～n}|Aa(k)|^p)^{1/p}(Σ_{k=1～n}|Bb(k)|^q)^{1/q}]
だから

Aa,Bb(A,Bは任意の数)によっても満たされる(BaではなくBbです)

A=(Σ_{k=1～n}|a(k)|^p)^{1/p}
B=(Σ_{k=1～n}|b(k)|^q)^{1/q}
とすると
Σ_{k=1～n}|a(k)/A|^p=1
Σ_{k=1～n}|b(k)/B|^q=1
だから
Σ_{k=1～n}|a(k)b(k)|/(AB)
=Σ_{k=1～n}|{a(k)/A}{b(k)/B}|
=Σ_{k=1～n}{|a(k)/A|^p}^{1/p}{|b(k)/B|^q}^{1/q}
≦Σ_{k=1～n}[(1/p){|a(k)/A|^p}+(1/q)|b(k)/B|^q]
=1/p+1/q
=1
∴
Σ_{k=1～n}|a(k)b(k)|≦AB=(Σ_{k=1～n}|a(k)|^p)^{1/p}(Σ_{k=1～n}|b(k)|^q)^{1/q}

お礼

画像までのせていただき、有難うございます。
よく分かりました