不等式の証明と文字の大小関係を自分で決める

質問

不等式の証明で、文字の大小関係をいつ自分で決めても一般性は失われないかが、わからないので質問します。
問題は、p≧0,q≧0,p+q=1のとき、|ap+bq|≦√(a^2p+b^2q)・・・(1)の不等式を証明するです。
自分のやり方は両辺とも0以上だから右辺^2-左辺^2を考えて、整理しa^2(p-p^2)+b^2(q-q^2)-2abp(1-p)これにq=1-pを代入して、p(1-p)(a-b)^2。ここでq≧pとしても一般性は失われないとして、p+p≦p+q≦q+q,(0≦)p≦1/2≦qよりp≧0,1-ｐ>0,(a-b)^2≧0だから不等式は証明された、等号成立はp=0またはa=bのときで、等号成立の間違いがありました。
解答では、右辺^2-左辺^2を考えて、qを消去しないで、pq(a-b)^2と計算をし、等号成立は、p=0またはq=0またはa=bのときでした。自分が勝手にa,bの大小をきめたので、解答のようにならなかったと思うのですが、自分の間違いの理由がわらないので、どなたかに間違いの指摘と訂正をお願いしたいのです。よろしくお願いします。

回答No.2

f272

q≧pとしても一般性は失われないというのは、その式が成り立っていなくてもpとqを入れ替えれば、同じような論理で議論を進めることができるということです。だから証明はそれで良い。
等号成立条件でp=0がでてきたら、pとqを入れ替えてq=0もでてくるのは当然です。

お礼

pとqを入れ替えても成立するからq=0もある、というのは新しい視点になりました。ありがとうございます。

回答No.1

retorofan

数学の証明では、一般性を失わないために、特定の変数の大小関係を仮定することは慎重に行わなければなりません。
あなたが「q≧pとする」と仮定した部分が一般性を失わせてしまった可能性があります。

この問題の場合、pとqの間の大小関係を特に仮定することなく、不等式を証明することが求められます。
そのため、解答のようにpqをそのまま残して計算を進める方が、より一般的な証明となります。

あなたの方法では、q=1-pを代入して計算を進めましたが、最終的に大小関係を仮定してしまったため、一般的な解答から逸脱した結果となりました。
大きさの仮定を置かない解法を採用することで、すべての状況に対応した証明が可能です。

お礼

大きさを仮定するのは、一般性が失われる恐れがあるのでできる
限り使わないようにします。