不等式の証明

質問

問題
a＾3＋b＾3＋c＾3≧3abc
(ただし、a,b,cはすべて正の数とする）
右辺ー左辺
より
a＾3＋b＾3＋c＾3-3abc
=(a＋b＋c)(a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca)
ここで、
a>0,b>0,c>0より
a＋b＋c>0
よって、a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca≧0をどのように示せばよいのかがわかりません。

お願いします

回答No.3

rindaryu · ベストアンサー

a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=1/2{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)}
=1/2{(a-b)^2+(b-a)^2+(c-a)^2}≧０

回答No.2

kukku111

a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca
=1/2{（a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)＾2}≧0
となります。

きっとあってると思います。

回答No.1

mirage70

a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-caと
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2と比較してください。そして、
(a-b)^2>=0 , (b-c)^2>=0 , (c-a)^2>=0ですので、
等号は、a=b=cのときとなります。