ヤングの不等式の等号成立について

質問

ヤングの不等式ab≦(a^p)/p+(b^q)/qで
等号成立がa^p=b^q
とあるのですが、これの証明ってどうやるのでしょうか？

どの本を見ても「明らか」としか書いてないので・・・

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1<p
1<q
1/p+1/q=1
ab≦(a^p)/p+(b^q)/q

a^p=b^q
↓の時
↓両辺を1/q乗し左右を入れ替えると
b=a^{p/q}
b=a^{p(1/q)}
↓1/q=1-1/pだから
b=a^{p(1-1/p)}
b=a^{p-1}
↓両辺にaをかけると
ab=a^p

(a^p)/p+(b^q)/q-ab
↓b^q=a^pだから
=(a^p)/p+(a^p)/q-ab
=(a^p)(1/p+1/q)-ab
=a^p-ab
↓ab=a^pだから
=a^p-a^p
=0
∴
ab=(a^p)/p+(b^q)/q

(a^p)/p+(b^q)/q=ab
とすると
a=0の時b=0だからa^p=0=b^q
b=0の時a=0だからa^p=0=b^q
だから
(a>0)&(b>0)とする

f(a)=(a^p)/p+(b^q)/q-ab
とすると
f'(a)=a^{p-1}-b
f"(a)=(p-1)a^{p-2}>0
だからf'(a)は単調増加
a^p<b^qの時
a<b^{1/(p-1)}の時
f'(a)<f'(b^{1/(p-1)})=0だからf(a)は単調減少
f(a)>f(b^{1/(p-1)})=0
a^p>b^qの時
a>b^{1/(p-1)}の時
f'(a)>f'(b^{1/(p-1)})=0だからf(a)は単調増加
f(a)>f(b^{1/(p-1)})=0
∴
a^p≠b^qの時
f(a)=(a^p)/p+(b^q)/q-ab>0
ab<(a^p)/p+(b^q)/qだから
ab=(a^p)/p+(b^q)/qの時
a^p=b^q

お礼

助かります。ありがとうございます