代数学の問題なのですが、

質問

代数学の問題なのですが、
G＝〈x〉を位数ｎ＜∞の巡回群とする。ｍは自然数でｎはｍZに属する元で位数ｍの部分群がただひとつ存在することを証明せよ。
という問題なのですが教えてください。

回答No.2

muturajcp

G=<x>
x^n=e
n∈mZ　だから
n=mk となる自然数k=n/mがある
<x^k>は位数mの部分群となる
Hを位数mの部分群
j=min{j|j>0,x^j∈H}とすると
H=<x^j>
jm=n=mk
j=k
H=<x^k>
∴
<x^{n/m}>=<x^k>は唯一の位数mの部分群となる

回答No.1

koko_u_u

存在することは簡単に示せますよね。補足にどうぞ。