巡回群Z_nの自己同型写像の数

質問

巡回群Z_nの自己同型写像の数を求めろという問題なのですが、
小さい数で試すと、きっとnと互いに素な数と同じだけあるように思います。(自己同型写像={a→a^p:pはnと互いに素}というようなかんじ)
ですが、うまく証明が出来ません。どなたか証明と、もし間違っていたら答えを教えていただけませんでしょうか。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

fを巡回群Znの自己同型写像とする。
f(1)=kとすると、f^(-1)も自己同型写像なので、
1=f^(-1)(k)=kf^(-1)(1)
これは、1≡kf^(-1)(1)（mod n）ということなので、
kとnは互いに素である。
そこで、nと互いに素なkを選んで、f(1)=kとなるように
f(m)=kmとして写像fを定めると、fは自己同型写像になっている。
また、自己同型写像は、このような形に限る。
よって、自己同型写像は、kの選び方、すなわち、nと互いに
素なものの数だけ存在する。
というような方針で良いような感じがします。

回答No.1

koko_u_u

>小さい数で試すと、きっとnと互いに素な数と同じだけあるように思います。
>(自己同型写像={a→a^p:pはnと互いに素}というようなかんじ)
>ですが、うまく証明が出来ません。

ほとんど出来ているので、特にアドバイスすることはありません。