部分群の位数の形は?

質問

自然数n>1に於いて
　m
n=Π(pi)^(ri) (m,ri∈N,　p1,p2,…,pmは相異なる素数)
　i=1

とする。

位数nの群の部分群の位数は
(pi)^(ri) (m,ri∈N,piは素数 (i=1,2,…,m))
のみである。
(つまり、(pi)^(ri)pj^(rj)といった形の位数を持つ事はない)

という主張なのですがこの命題は正しいといっていいでしょうか?

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

>つまり、私の主張は下記のように訂正すればいいのですね。

・・それがNo.2さんが指摘されているSylowの定理（の一部）というもので，有限群の話の基本です．群論の初歩的な教科書には大抵出ています．

お礼

有り難うございます。
見つけました。
納得致しました。ｍ（＿ ＿）ｍ

回答No.3

kabaokaba

No.1です
>位数12の群は位数が6の部分群を持てないのでしょうか?

きちんと読んでください．
私もNo.2さんも，「正しくない」といってるわけで
私は位数12の群で，位数6の部分群をもつ具体例を
No.2さんはS(6)で位数6の部分群の具体例を出しています

もっと具体的に書きます．
zを1の原始12乗根とします．z=exp(i(π/12)) だと思って構いません．
{1,z,z^2,z^3,...,z^11} は位数12の群です
このうち，{1,z^2,z^4,z^6,z^8,z^{10}} は位数6の部分群です．

あと，位数が12と与えられていても
それだけで群の構造が一個に決定するとは限りません．
したがって，質問者さんが考えているかもしれない
位数12のある特定の群がたまたま位数6の部分群を持たないだけという
可能性もあります

位数12は少なくとも巡回群と4次の交代群が存在します
私は前者を「位数6の部分群が存在する例」として挙げましたが，
4次の交代群には位数6の部分群は存在しません．

お礼

お手数お掛けしております。
だいぶ分かってきました。

つまり、私の主張は下記のように訂正すればいいのですね。

位数nの群はの位数が
(pi)^(ri) (m,ri∈N,piは素数 (i=1,2,…,m))
という部分を必ず持つ。
(つまり、(pi)^(ri)pj^(rj)といった形の位数の部分群はケースバイケース)

回答No.2

totoro7683

正しくありません。
たとえば置換群S(6)の元（1,2,3,4,5,6)
によって生成される部分群は位数６の部分群です。
ただし位数が(pi)^(ri)であるような部分群は必ず存在します。
（シローの定理という有限群論の基本定理です。）

お礼

有り難うございます。

うーん、どうして
位数12の群は位数が6の部分群を持てないのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba

位数12(2^2*3)の群で位数6(2*3)の部分群を
持つものが存在します

正12角形の頂点の中には正6角形の頂点が存在する
もしくは z^{12}=1 の解の集合には z^{6}=1 の解の集合が含まれ
それぞれ複素数の積に関して群の構造をもつ
ということです．

お礼

有り難うございます。

うーん、どうして
位数12の群は位数が6の部分群を持てないのでしょうか?