一般線型群GL(n,R)の連結性について

質問

一般線型群GL(n,R)の連結性について
多様体入門[松島]のp166の例題で分からないところがあるので教えてください。
行列式が正である行列の集合をGL_{+}(n,R)とします。
これが連結であることを示したいです。
帰納法で考え、GL(1,R)は正の実数の集合に普通の積を群演算としたものなので連結。
GL(n-1,R)が連結であるとし, GL_{+}(n,R)の正規部分群Hを
(1,1)成分が1で(k,1), (k≧2)成分が0であるようなGL_{+}(n,R)の部分群とします。
HはR^{n-1}×GL_{+}(n-1,R)と同相なので帰納法の仮定から連結。
商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
GL_{+}(n,R)/Hには商位相をいれます。

ここで質問したいのですが
GL_{+}(n,R)/HとR^{n}＼{0}が位相同型になると書いてあるのですがどうやって示したらよいでしょうか？

これがいえると部分群Hと商空間GL_{+}(n,R)/Hが連結なので、GL_{+}(n,R)が連結だということが言えます。

よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba

>GL(1,R)は正の実数の集合に普通の積を群演算としたものなので連結

GL(1,R)={x<0}∪{x>0}だから連結ではありません．
GL^{+}(1,R)なら連結．typoですね．
帰納法の仮定もtypo．

>商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
というのであれば実際に写像を作ればいいでしょう．

GL^{+}(n,R)/H の元 [A] の第一列を a とすれば
写像 f:GL^{+}(n,R)/H -> R^[n}-{0}
f([A]) = a
とすればaは0ベクトルではなく，
同値類のとり方にも依存せず well-defined．
fは明らかに同相でしょう．

むしろ，
>商群GL_{+}(n,R)/Hは第1列の成分が全て等しいGL(n,R)の元を同値類とする集合になります。
これの証明はどうするんだろうかなあ．計算しんどそうだし。。。
松島本は押入れに眠ってるからすぐだせない(苦笑)

お礼

ありがとうございました。

補足

間違いのご指摘ありがとうございます。冷静に考えたら分かった気がします。

GL_{+}(n,R)の行列の第1列のベクトルに対応させる写像gを考えると連続開写像だから
fも連続開写像になりfは同相写像になるということですね。

剰余類AHの元をBとすると
B=AC,Cの第1列は第1成分が1で残りが0の行列で両辺の第1列の成分を比べればAとBの第一列は
一致します。