数学3の極限の問題を教えてください！

質問

lim(x→-∞)1/{√(x^2+x+1)-√(x^2+1)}

という問題で、答えは-2になるはずなのですが、
何度やっても2になってしまいます;

どうしてマイナスになるのでしょうか？
教えてください！

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

x→-∞ を、x→+∞ と間違えたのでは？
最初に y=-x で置換してから解いたものと
間違った答案を見比べると、
分子分母を x で割ったときに
x の符号を扱いそこねていることが
ハッキリするんじゃないかと思う。

お礼

yに置き換えると難なく解けましたw

やはり符号についてちゃんと考えられてない状態で
そのまま解いてしまうのはまずいですね^^;
今度からはx→-∞の問題は
なるべく他の文字に置き換えてとこうと思います。

みなさんわかりやすいご回答ありがとうございました！
ぜひまたよろしくお願いします！

回答No.3

info22_

lim(x→-∞)1/{√(x^2+x+1)-√(x^2+1)}
分母の有理化をすると
=lim(x→-∞){√(x^2+x+1)+√(x^2+1)}/{(x^2+x+1)-(x^2+1)}
=lim(x→-∞){√(x^2+x+1)+√(x^2+1)}/x
-------------------------------------
>何度やっても2になってしまいます;
>どうしてマイナスになるのでしょうか？

x→-∞なのでx<0であるから
x=-(-x)=-√((-x)^2)=-√(x^2)
とすべき所を
x=√(x^2) として間違ったのだと思います。
----------------------------------------

=lim(x→-∞){√(x^2+x+1)+√(x^2+1)}/(-(-x))
=lim(x→-∞){√(x^2+x+1)+√(x^2+1)}/(-√(x^2))
=-lim(x→-∞){√((x^2+x+1)/x^2)+√((x^2+1)/x^2)}
=-lim(x→-∞){√(1+(1/x)+(1/x^2))+√(1+(1/x^2))}
=-{√(1-0+0)+√(1+0)}
=-(1+1)
=-2

となり答え通りに「-2」となります。

お礼

細かく書いていただいてありがとうございます！

指摘通りのところで間違ってました。
ルートの中が負の数の二乗でも、正の数になることに
気づいていませんでした^^;

回答No.2

rnakamra

これは計算するまでもなく正の値であれば間違いであることは明らか。

x<0において
0<x^2+x+1<x^2+1
となりますので
√(x^2+x+1)<√(x^2+1)
√(x^2+x+1)-√(x^2+1)<0
1/{√(x^2+x+1)-√(x^2+1)}<0
となります。
常に負の値を持つ関数が正の値に収束することはありえません。

お礼

なるほど、確かに正の数にはなりませんね・・・
でもそういう考え方から入ることが苦手で;
やはり答えの範囲とかは考えるようにしないといけませんよね;

ありがとうございます！